Question

（2012•黃岡模擬）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P，Q分別為AB，OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A，O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為1厘米/秒，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t≤4）秒．
（1）求運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含t的式子表示）．
（2）若△OPQ的面積為Scm²，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大面積是多少？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分？
（4）按此速度運(yùn)動(dòng)下去，△OPQ能否成為正三角形？若能，求出時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說明理由．能否通過改變Q點(diǎn)的速度，使△OPQ成為正三角形？若能，請(qǐng)求出改變后Q的速度和此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根據(jù)比例式求出AM、PM的值，P點(diǎn)坐標(biāo)即可得到，由
（2）根據(jù)三角形的面積公式，P點(diǎn)縱坐標(biāo)與OQ的長(zhǎng)度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可；
（3）因?yàn)镾_△ABO=

1

2

OA×OB=

1

2

×3×4=6，又S_△PQB=

1

2

BQ×Py=

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t），若直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分
則當(dāng)

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

1

4

×6或

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

3

4

×6，分別求出符合題意的t值即可；
（4）按此速度運(yùn)動(dòng)下去，△OPQ不能成為正三角形根據(jù)正三角形的性質(zhì)PN垂直平分邊OQ，所以無(wú)論t為何值時(shí)，△OPQ都不可能為正三角形；改變Q點(diǎn)速度根據(jù)正三角形的性質(zhì)，0Q=2ON，PN=

3

2

OQ，分別列式求解即可得到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間t．

解答：解：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=5=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴

AM

3

=

PM

4

=

t

5

，
∴PM=

4

5

t，AM=

3

5

t，
∴OM=OA-AM=3-

3

5

t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

5

t，3-

3

5

t），
∵Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是速度為1厘米/秒，
∴OQ=1×t，
∴Q的坐標(biāo)是（t，0）；
（2）OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∵a=-

3

10

＜0，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S_最大=

15

8

；
（3）∵S_△ABO=

1

2

OA×OB=

1

2

×3×4=6，
又S_△PQB=

1

2

BQ×Py=

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t），
當(dāng)

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

1

4

×6時(shí)，則t=

9+ 21

2

（舍去）或

9- 21

2

；
當(dāng)

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

3

4

×6時(shí)，則t=

9+ 61

2

（舍去）或

9- 61

2

，
∴當(dāng)t=

9- 21

2

或

9- 61

2

時(shí)，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分；
（4）按此速度運(yùn)動(dòng)下去，△OPQ不能成為正三角形，理由如下：過點(diǎn)P作PN⊥OQ，
∵OP²=PN²+ON²=PN²+（

4

5

t）2，QP²=PN²+QN²=PN²+（

1

5

t）2，
要使△OPQ成為等邊三角形，則PN²+（

4

5

t）²=PN²+（

1

5

t）2，
∴t=0，但此時(shí)不存在三角形，
∴按此速度運(yùn)動(dòng)下去，△OPQ不能成為正三角形，
設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為k，若△OPQ為正三角形，則OP=PQ=OQ，OQ=2ON，
∴kt=2×

4

5

t，k=

8

5

，
此時(shí)PN=OP•sin60°=

3

2

OP=

3

2

OQ，
即：3-

3

5

t=

3

2

×

8

5

t，
解得：t=

20 3 -15

13

，
∴當(dāng)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

8

5

cm/s是，△△OPQ成為正三角形，此時(shí)t=

20 3 -15

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)、等邊三角形的高與底邊的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，只要肯于動(dòng)腦也不難解決．