Question

12．若方程①x²+x-1=0的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1；反過來(lái)，若x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，則相應(yīng)的一元二次方程為x²+x-1=0；②3x²-4x-7=0的兩根為x₁，x₂．則x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{7}{3}$；反過來(lái)，若x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{7}{3}$，則相應(yīng)的一元二次方程為3x²-4x-7=0．
問題：
（1）若方程的兩根為x₁=p，x₂=q，則相應(yīng)的一元二次方程為x²-px+q=0；
（2）若方程的兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，則相應(yīng)的一元二次方程可以為ax²-bx+c=0
（3）已知方程x²+mx-n=0（n≠0），求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．

Answer 1

分析 （1）（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出直接得出方程即可；
（3）先設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x₁，x₂，得出x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．

解答 解：（1）若方程的兩根為x₁=p，x₂=q，則相應(yīng)的一元二次方程為x²-px+q=0；
（2）若方程的兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，則相應(yīng)的一元二次方程可以為ax²-bx+c=0；
（3）設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x₁，x₂，
x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，
則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，
因此這個(gè)一元二次方程是：x²+$\frac{m}{n}$x+$\frac{1}{n}$=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．掌握根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解決問題的關(guān)鍵．