Question

8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90度，AB=AD=2，E是AD邊上一點（點E不與A，D重合），BE的垂直平分線交邊AB于M，交直線CD于N．設(shè)四邊形ADNM的面積為S，則S的最大值是（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 連接ME、FN，證明出來△EBA≌△MNF，把需要解決的問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題，利用勾股定理得到函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的最值問題即可求出．

解答 解：如圖，連接ME，設(shè)MN交BE于P，則MB=ME，MN⊥BE．
過N作AB的垂線交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠FNM，即∠ABE=∠FNM
在△EBA與△MNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MFN}\\{AB=FN}\\{∠ABE=∠FNM}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△MNF（ASA），
∴MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，則由勾股定理得到：（2-AM）²=x²+AM²．
整理，得4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得AM=1-$\frac{1}{4}$x²．
∴梯形ADNM的面積S=$\frac{AM+DN}{2}$×AD=$\frac{AM+AF}{2}$×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-$\frac{1}{4}$x²）+x
=-$\frac{1}{2}$x²+x+2
即所求關(guān)系式為S=-$\frac{1}{2}$x²+x+2；
∵S=-$\frac{1}{2}$x²+x+2=-$\frac{1}{2}$（x²-2x+1）+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{5}{2}$，
∴四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是$\frac{5}{2}$．
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理的運用，在解答此題時要連接ME，過N點作AB的垂線是解題的關(guān)鍵．