Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且D是BC中點，過點A作AE∥DC，取AE=DC，連接CE．
（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）求證：平行四邊形ADCE是菱形；
（3）連接DE交AC于點O，過點O作OF⊥DC，若DF=8，AC=6，求OF．

Answer 1

考點：菱形的判定,平行四邊形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得AD=

1

2

BC，然后再證明AD=DC，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論；
（3）首先利用勾股定理以及射影定理得出關(guān)于OF的關(guān)系式進(jìn)而求出即可．

解答：（1）證明：∵AE∥DC，AE=DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形；

（2）證明：∵∠BAC=90°，且D是BC中點，
∴AD=

1

2

BC，CD=

1

2

BC，
∴AD=DC，
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴平行四邊形ADCE是菱形；

（3）解：設(shè)FC=x，F(xiàn)O=y，
∵平行四邊形ADCE是菱形，
∴∠DOC=90°，
∵FO⊥DC，
∴可得：FO²=DF×FC，F(xiàn)O²+FC²=CO²，
∵DF=8，AC=6，∴CO=3，
即y²=8x，y²+x²=9，
解得；x=1，
故y=2

2

，
即OF的長為2

2

．

點評：此題主要考查了菱形、平行四邊形的判定，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．