Question

【題目】在菱形中，對角線與交于點，，，點是對角線上一點（可與，重合），以點為圓心，為半徑作（其中）．

（1）如圖1，當點與重合，且時，過點，分別作的切線，切點分別為，．求證：；

（2）如圖2，當點與點重合，且在菱形內部時（不含邊界），求的取值范圍；

（3）當點為或的內心時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）連接，，則AM=AN，根據切線的性質可得90°，據此通過“HL”證明Rt△BMA與Rt△DNA全等，最后利用全等三角形性質證明結論即可；

（2）當點與點重合，在菱形內部時，過點P作于點，根據菱形的性質可得，，由此進一步利用勾股定理計算出，最后通過結合題意進一步分析求解即可；

（3）如圖，當點為內心時，過作于，作于，則有，連接、，根據求出此時圓的半徑，從而根據直接計算即可，然后當點為的內心時，按照相同的方法進一步求解即可.

（1）

如圖，連接，，則AM=AN，

∵，分別是的切線，

∴90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴在Rt△BMA與Rt△DNA中，

∵，，

∴，

∴；

（2）

如圖，當點與點重合，在菱形內部時，過點P作于點，

在菱形中，，，

∴，，

∴，

∴，

由，得，

解得：，

∴當點與點重合，且在菱形內部時，的取值范圍是：；

（3）AP長為或．

如圖，當點為內心時，過作于，作于，

則有，連接、，

則有，

由菱形性質可得：AB=AD=BC=CD=5，AO=OC=3，BO=OD=4，

∴，

解得：，

則；

當點為的內心時，同理可得，

綜上所訴，或．