Question

如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，分別過點(diǎn)B，C作直線l的垂線，垂足分別為D，E，求證：DE=BD+CE；
（1）將直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線l與BC相交，且∠BAD＜45°（如圖2）時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)你探索DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使45°＜∠BAE＜90°（如圖3），其它條件不變，此時(shí)（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，DE，BD，CE之間又怎樣的數(shù)量關(guān)系？（不需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：如圖1，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，進(jìn)而得出結(jié)論；
（1）如圖2，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）如圖3，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：證明：如圖1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（1）DE=CE-BD
理由：如圖2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（2）DE=BD-CE．
理由：如圖3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．