Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限內是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由；
（4）若點M為x軸上一點，在拋物線上是否存在點N使得以M、N、A、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標與系數(shù)的關系即可求得；
（2）根據(jù)軸對稱的性質先找出C的對稱點C′，然后連接AC′即可找到Q點，最后根據(jù)A、C′的坐標求得直線AC′的解析式，即可求得Q的坐標；
（3）根據(jù)S_△PBC=S_△PBQ+S_{四邊形PQOC}-S_△BOC即可求得解析式，根據(jù)解析式即可求得求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；
（4）過C點作x軸的平行線即可找到N點，因為N的縱坐標等于C的縱坐標，然后代入拋物線的解析式即可求得；

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，
∴-3+1=b，-3×1=-c，
∴b=-2，c=3，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；


（2）存在；
如圖1，∵拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∴拋物線的對稱軸x=-1，C（0，3）
∴C′（-2，3），
設直線AC′的解析式為：y=kx+b，
∵A（1，0），
∴

3=-2k+b 0=k+b

  解得

k=-1 b=1

，
∴直線AC′的解析式為：y=-x+1，
把x=-1代入直線AC′的解析式y(tǒng)=-x+1，得y=2，
∴Q（-1，2）；

（3）存在；
如圖2，設P（m，-m²-2m+3），
∴OQ=-m，PQ=-m²-2m+3，BQ=3+m，
∴S_△PBQ=

1

2

BQ•PQ=

1

2

（3+m）（-m²-2m+3），S_{四邊形PQOC}=

1

2

（OC+PQ）•OQ=

1

2

（3-m²-2m+3）•（-m），S_△BOC=

1

2

OB•OC=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△PBC=S_△PBQ+S_{四邊形PQOC}-S_△BOC=-

3

2

m²-

3

2

m，
即S_△PBC=-

3

2

m²-

3

2

m=-

3

2

（m+

1

2

）+

3

8

，
∴當m=-

1

2

時，△PBC的面積最大，最大值為

3

8

；
∴P（-

1

2

，

15

4

）；


（4）存在；
如圖3，∵以M、N、A、C為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴MN∥AC，
過作NC∥x軸交拋物線與N，
∴N的縱坐標為3，
把y=3代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-2x+3，得3=-x²-2x+3，
解得：x=-2，x=0（舍去），
∴N（-2，3）；

點評：該題考查的內容主要涉及到利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、軸對稱圖形、三角形的面積以及平行四邊形的判定和性質；（3）利用坐標系借助規(guī)則圖形求三角形的面積是此題的關鍵所在．