Question

9．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上不同于A，B的兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CF交直線AB于點(diǎn)F，直線DB⊥CF于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABD=2∠CAB；
（2）若BF=5，sin∠F=$\frac{3}{5}$，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和外角的性質(zhì)得出∠2=2∠CAB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OC⊥CF，即可證得OC∥DB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABD=∠2，即可證得∠ABD=2∠CAB；
（2）連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD⊥DE，即可證得AD∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=∠F，從而證得△FBE∽△FOC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求得半徑，然后通過解直角三角形即可求得BD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠1，
∴∠2=∠CAB+∠1=2∠CAB，
∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半徑，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD=∠2，
∴∠ABD=2∠CAB；

（2）解：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥DE，
∵DE⊥CF，
∴AD∥CF，
∴∠3=∠F，
在RT△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sin∠F=$\frac{3}{5}$，
∴BE=BF•sin∠F=5×$\frac{3}{5}$=3，
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴$\frac{FB}{FO}$=$\frac{BE}{OC}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，則$\frac{5}{5+r}$=$\frac{3}{r}$，
解得r=$\frac{15}{2}$，
在RT△ABD中，∠ADB=90°，AB=2r=15，sin∠3=sin∠F=$\frac{3}{5}$，
∴BD=AB•sin∠3=15×$\frac{3}{5}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．