Question

如圖，在扇形OAB中，⊙O₁分別與

AB

、OA、OB切于點C、D、E，∠AOB=60°，⊙O的面積為4π，若用此扇形做一個圓錐的側(cè)面，求圓錐的底面半徑．

Answer 1

考點：圓錐的計算

專題：計算題

分析：先根據(jù)圓的面積公式得到O₁D=2，再利用兩圓相切的性質(zhì)與切線的性質(zhì)得到OC=OO₁+O₁C=OO₁+2，O₁D⊥OA，O₁E⊥OB，則根據(jù)角平分線的判定定理得到∠AOC=30°，在Rt△OO₁D中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得OC=6，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式求解．

解答：解：∵⊙O的面積為4π，
∴πO₁D²=4π，解得O₁D=2，
∵⊙O₁分別與

AB

、OA、OB切于點C、D、E，
∴OC=OO₁+O₁C=OO₁+2，O₁D⊥OA，O₁E⊥OB，
∴∠AOC=∠BOC=

1

2

∠AOB=30°，
在Rt△OO₁D中，∵O₁D=2，∠DOO₁=30°，
∴OO₁=2O₁D=4，
∴OC=6，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，
則2πr=

60•π•6

180

，即得r=1，
即圓錐的底面半徑為1．

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓的母線長．也考查了兩圓相切的性質(zhì)與切線的性質(zhì)．