Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（0，4），將△ABO）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′B′O，記旋轉(zhuǎn)角為α，直線AA′與直線BB′相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，求證：AP⊥BP；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，求證：AP⊥BP；
（Ⅲ）求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值與最小值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖①，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，則利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠OA′A=∠OB′B=90°-$\frac{1}{2}$α，利用鄰補(bǔ)角得∠OA′P+∠OA′A=180°，所以∠OB′B+∠OA′P=180°，則利用四邊形內(nèi)角和可得到∠A′PB+∠A′OB′=180°，于是得到∠A′PB=90°，所以AP⊥BP；
（Ⅱ）如圖②，由（Ⅰ）得∠OAA′=∠OBB′=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，在△AOC和△BCP中利用三角形內(nèi)角和易得∠AOC=∠CPB=90°，所以AP⊥BP；
（Ⅲ）由于∠BPA=90°，根據(jù)圓周角定理的推論得點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，取AB的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直徑PP′⊥x軸交x軸于F點(diǎn)，如圖①，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)最小，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=4$\sqrt{2}$，則EP=EP′=2$\sqrt{2}$，再計(jì)算出EF=$\frac{1}{2}$OA=2，所以FP=2$\sqrt{2}$+2，F(xiàn)P′=2$\sqrt{2}$-2，于是可得到P的縱坐標(biāo)的最大值為2+2$\sqrt{2}$，最小值為2-2$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）如圖①，∵點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′B′O，
∴OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，
∴∠OA′A=∠OB′B=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠OA′P+∠OA′A=180°，
∴∠OB′B+∠OA′P=180°，
在四邊形OA′PB中，∵∠A′PB+∠A′OB′+∠OB′B+∠OA′P=360°，
∴∠A′PB+∠A′OB′=180°，
∴∠A′PB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅱ）如圖②，
由（Ⅰ）得∴∠OAA′=∠OBB′=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△AOC和△BCP中，∵∠ACO=∠BCP，
∴∠AOC=∠CPB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅲ）∵∠BPA=90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，
取AB的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直徑PP′⊥x軸交x軸于F點(diǎn)，如圖①，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)最小，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴EP=EP′=2$\sqrt{2}$，
∵EF⊥OA，
∴EF=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴FP=2$\sqrt{2}$+2，F(xiàn)P′=2$\sqrt{2}$-2，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2+2$\sqrt{2}$，點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)為2-2$\sqrt{2}$，
即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為2+2$\sqrt{2}$，最小值為2-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算角度；利用垂直的定義計(jì)算兩直線垂直．