Question

如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)A，B，C三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）已知直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P．
①當(dāng)m=0時(shí)，如圖1，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積；
②當(dāng)m=-3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）①如答圖1，作輔助線，利用關(guān)系式S_△OPH=S_△OMH-S_△OMP求解；
②本問涉及復(fù)雜的分類討論，如答圖2所示．由于點(diǎn)P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三種情形，故討論與計(jì)算的過(guò)程比較復(fù)雜，需要耐心細(xì)致、考慮全面．

解答：解：（1）由題意得：A（4，0），C（0，4），對(duì)稱軸為x=1．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

16a+4b+c=0 c=4 - b 2a =1

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

．
∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）①當(dāng)m=0時(shí)，直線l：y=x．
∵拋物線對(duì)稱軸為x=1，
∴CP=1．
如答圖1，延長(zhǎng)HP交y軸于點(diǎn)M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，
∴OM=OC+CM=5．
S_△OPH=S_△OMH-S_△OMP=

1

2

（

2

2

OM）²-

1

2

OM•CP=

1

2

×（

2

2

×5）²-

1

2

×5×1=

25

4

-

5

2

=

15

4

，
∴S_△OPH=

15

4

．

②當(dāng)m=-3時(shí)，直線l：y=x-3．
設(shè)直線l與x軸、y軸交于點(diǎn)G、點(diǎn)D，則G（3，0），D（0，-3）．
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P．
a）當(dāng)點(diǎn)P在OC邊上時(shí)，如答圖2-1所示，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合．
設(shè)PE=a（0＜a≤4），
則PD=3+a，PF=

2

2

PD=

2

2

（3+a）．
過(guò)點(diǎn)F作FN⊥y軸于點(diǎn)N，則FN=PN=

2

2

PF，∴EN=|PN-PE|=|

2

2

PF-PE|．
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF=

EN2+FN2

=

PE2- 2 PE•PF+PF2

．
若PE=PF，則：a=

2

2

（3+a），解得a=3（

2

+1）＞4，故此種情形不存在；
若PF=EF，則：PF=

PE2- 2 PE•PF+PF2

，整理得PE=

2

PF，即a=3+a，不成立，故此種情形不存在；
若PE=EF，則：PE=

PE2- 2 PE•PF+PF2

，整理得PF=

2

PE，即

2

2

（3+a）=

2

a，解得a=3．
∴P₁（0，3）．

b）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，如答圖2-2所示，此時(shí)PE=4．
若PE=PF，則點(diǎn)P為∠OGD的角平分線與BC的交點(diǎn)，有GE=GF，過(guò)點(diǎn)F分別作FH⊥PE于點(diǎn)H，FK⊥x軸于點(diǎn)K，
∵∠OGD=135°，
∴∠EPF=45°，即△PHF為等腰直角三角形，
設(shè)GE=GF=t，則GK=FK=EH=

2

2

t，
∴PH=HF=EK=EG+GK=t+

2

2

t，
∴PE=PH+EH=t+

2

2

t+

2

2

t=4，
解得t=4

2

-4，
則OE=3-t=7-4

2

，
∴P₂（7-4

2

，4）
c）∵A（4，0），B（2，4），
∴可求得直線AB解析式為：y=-2x+8；
聯(lián)立y=-2x+8與y=x-3，解得x=

11

3

，y=

2

3

．
設(shè)直線BA與直線l交于點(diǎn)K，則K（

11

3

，

2

3

）．
當(dāng)點(diǎn)P在線段BK上時(shí)，如答圖2-3所示．
設(shè)P（a，8-2a）（2≤a≤

11

3

），則Q（a，a-3），
∴PE=8-2a，PQ=11-3a，
∴PF=

2

2

（11-3a）．
與a）同理，可求得：EF=

PE2- 2 PE•PF+PF2

．
若PE=PF，則8-2a=

2

2

（11-3a），解得a=1-2

2

＜0，故此種情形不存在；
若PF=EF，則PF=

PE2- 2 PE•PF+PF2

，整理得PE=

2

PF，即8-2a=

2

•

2

2

（11-3a），解得a=3，符合條件，此時(shí)P₃（3，2）；
若PE=EF，則PE=

PE2- 2 PE•PF+PF2

，整理得PF=

2

PE，即

2

2

（11-3a）=

2

（8-2a），解得a=5＞

11

3

，故此種情形不存在．

d）當(dāng)點(diǎn)P在線段KA上時(shí)，如答圖2-4所示．
∵PE、PF夾角為135°，
∴只可能是PE=PF成立．
∴點(diǎn)P在∠KGA的平分線上．
設(shè)此角平分線與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥直線l于點(diǎn)N，則OM=MN，MD=

2

MN，
由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3-3

2

）．
又因?yàn)镚（3，0），
可求得直線MG的解析式為：y=（

2

-1）x+3-3

2

．
聯(lián)立直線MG：y=（

2

-1）x+3-3

2

與直線AB：y=-2x+8，
可求得：P₄（1+2

2

，6-4

2

）．
e）當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上時(shí)，此時(shí)PE=0，等腰三角形不存在．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（0，3）、（3，2）、（7-4

2

，4）、（1+2

2

，6-4

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積、勾股定理、角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．第（2）②問中涉及復(fù)雜的分類討論，使得試題的難度較大．