Question

如圖，D、E分別是△ABC的邊BC、AB上的點(diǎn)，△ABC，△BDE，△ACD的周長(zhǎng)依次為m，m₁，m₂．
（1）當(dāng)∠2=∠3，BD=

3

5

BC時(shí)，求

m1

m

的值；
（2）當(dāng)∠1=∠2，BD=

3

5

BC時(shí)，求（

m2

m

）²的值；
（3）當(dāng)∠1=∠2=∠3時(shí)，證明：

m1+m2

m

≤

5

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）直接利用已知得出△BDE∽△BCA，進(jìn)而利用相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)已知得出△ACD∽△BCA，進(jìn)而得出

m2

m

=

DC

AC

=

AC

BC

，求出即可；
（3）由∠2=∠3，得DE∥AC，則△BDE∽△BCA，進(jìn)而得出△ACD∽△BDE∽△BCA，即可得出

m1

m

=

BD

BC

①，

m2

m

=

DC

AC

=

AC

BC

②，結(jié)合完全平方公式求出即可．

解答：解：（1）∵∠2=∠3，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴

m1

m

=

BD

BC

，
由BD=

3

5

BC，得

BD

BC

=

3

5

，
即

m1

m

=

3

5

； 

（2）∵∠1=∠2，∠C是公共角，
∴△ACD∽△BCA，
∴

m2

m

=

DC

AC

=

AC

BC

，
∴（

m2

m

）²=

DC

AC

×

AC

BC

=

DC

BC

，
由BD=

3

5

BC，得DC=

2

5

BC，
∴（

m2

m

）²=

2

5

；

（3）證法一：∵∠2=∠3，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA；
∵∠1=∠2，∠C是公共角，
∴△ACD∽△BCA，
∴△ACD∽△BDE∽△BCA．
∴

m1

m

=

BD

BC

①

m2

m

=

DC

AC

=

AC

BC

，②
由②得，（

m2

m

）²=

DC

AC

×

AC

BC

=

DC

BC

=

BC-BD

BC

=1-

BD

BC

=1-

m1

m

，
∴

m1

m

=1-（

m2

m

）²．

m1+m2

m

=

m1

m

+

m2

m

=1-（

m2

m

）²+

m2

m

，
=-（

m2

m

）²+

m2

m

+1=-（

m2

m

-

1

2

）²+

5

4

，
∵-（

m2

m

-

1

2

）²≤0，
∴

m1+m2

m

≤

5

4

．

證法二：由∠2=∠3，得AC∥DE，∴△BCA∽△BDE．
∵∠1=∠2，∠C是公共角，
∴△BCA∽△ACD，
∴△BCA∽△BDE∽△ACD．
∵△ABC，△EBD，△ADC的周長(zhǎng)為m，m 1 ，m₂，
∴相似比為m：m 1 ：m₂，
∴BC：BD：AC=m：m₁：m₂，
設(shè)

BC

m

=

BD

m1

=

AC

m2

=k，
則BC=mk，BD=m₁k，AC=m₂k．
CD=BC-BD=（m-m₁）k，由

CD

AC

=

AC

BC

，得

m-m1

m2

=

m2

m

，
等式左邊的分子、分母同除以m，
得

1- m1 m

m2 m

=

m2

m

，
設(shè)

m2

m

=x，

m1

m

=y，
則

1-y

x

=x，1-y=x²，y=1-x²，

m1+m2

m

=

m1

m

+

m2

m

=x+y=x+1-x²，
=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，

m1+m2

m

取得最大值

5

4

，
∴

m1+m2

m

≤

5

4

．

證法三：證明：由∠2=∠3，得DE∥AC，
∴△EBD∽△ABC．設(shè)相似比為k，由題意知，
0＜k＜1．則

m1

m

=

DE

AC

=

BE

AB

=

BD

BC

=k．
∵∠2=∠1，∠C是公共角，∴△DAC∽△ABC，
∴

m2

m

=

DC

AC

=

AD

AB

=

AC

BC

．
在△ABC中，設(shè)AB=x，AC=y，BC=z，
由

BD

BC

=k，得BD=kBC=k•z，CD=BC-BD=z-kz．
由

DE

AC

=k，得DE=kAC=ky．
由△ABC∽△DAC，得

AC

BC

=

DC

AC

，
得

y

z

=

z-kz

y

，∴y²=z²（1-k），
∵0＜k＜1，∴1-k＞0，∴y=z

1-k

，
∴

m1+m2

m

=

m1

m

+

m2

m

=

DE

AC

+

DC

AC

=

ky+(z-kz)

y

=

k•z a-k +z(1-k)

z 1-k

=k+

1-k

．
設(shè)

1-k

=n，
則1-k=n²，k=1-n²，
∴

m1+m2

m

=1-n²+n
=-n²+n+1
=-（n-

1

2

）²+

5

4

，
當(dāng)n=

1

2

時(shí)，

m1+m2

m

取得最大值

5

4

，
∴

m1+m2

m

≤

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及相似比與周長(zhǎng)比的關(guān)系等知識(shí)，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．