Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AP＝AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) .

【解析】

（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍得到∠AOC的大小，再根據(jù)邊角關(guān)系證明∠PAO是直角，從而證明出PA是⊙O的切線(xiàn)（2）要求DH的長(zhǎng)，先根據(jù)已知條件證明△CAD是直角三角形，進(jìn)而可以得到結(jié)果.

（1）連接AO

∵ 在⊙O中，∠B＝60° ∴ ∠AOC＝2∠B＝120°

∴ ∠AOD＝180°－∠AOC＝60°

∵OA＝OC ∴∠OCA＝∠OAC＝30°

∵AP＝AC ∴∠APC＝∠ACO＝30°

∴∠PAO＝180°－∠AOD－∠APC＝90°

∵點(diǎn)A在⊙O上 ∴PA是⊙O的切線(xiàn)．

（2）連接AD

∵ 在⊙O中，OH⊥AC

∴AH＝HC

∵ 在⊙O中，DC為直徑

∴∠DAC＝90°

∵ AH＝HC，OD＝OC

∴OH是△CAD的中位線(xiàn)

∴AD＝2OH＝2

∵在Rt△OCH中 ∴tan∠OCH＝ ∴HC＝ ∴AH＝CH＝

∵在Rt△HAD中 ∴HD＝＝.