【題目】如圖,直線y=kx+b與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),tan∠BAO=,一條拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),且與直線y=kx+b交于點(diǎn)C(m,8),點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合),PD⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)Q.
(1)求直線和拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段PQ的長(zhǎng)度為d,求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出d的最大值;
(3)是否存在點(diǎn)P的位置,使得以點(diǎn)P,D,B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?如果存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x+4,y=x2;(2)d=﹣t2+t+4,當(dāng)t=2時(shí),d有最大值;(3)存在,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2+2,5+)或(,),理由見解析
【解析】(1)利用三角形函數(shù)先求出A點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)用含t的式子表示出來(lái),利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式,利用頂點(diǎn)公式即可求出d的最大值;
(3)從PB=BD或PB=PD或BD=PD三種情況進(jìn)行討論即可.
解:(1)∵B(0,4),
∴OB=4,
在Rt△AOB中,∵tan∠BAO==,
∴OA=2OB=8,
∴A(﹣8,0),
把A(﹣8,0),B(0,4)代入y=kx+b得,解得,
∴直線AB的解析式為y=x+4,
當(dāng)y=8時(shí),x+4=8,解得x=8,則C(8,8),
設(shè)拋物線解析式為y=ax2,
把C(8,8)代入得64a=8,解得a=,
∴拋物線的解析式為y=x2;
(2)設(shè)P(t,t+4)(0<t<8),則Q(t,t2),
∴d=t+4﹣t2
=﹣t2+t+4,
∵d=﹣(t﹣2)2+,
∴當(dāng)t=2時(shí),d有最大值;
(3)存在.
∵B(0,4),P(t,t+4),D(t,0),
∴PB2=t2+(t+4﹣4)2=t2,DB2=t2+42=t2+16,PD2=(t+4)2=t2+4t+16,
當(dāng)PB=BD時(shí),△PBD為等腰三角形,即t2=t2+16,解得t1=8(舍去),t2=﹣8(舍去);
當(dāng)PB=PD時(shí),△PBD為等腰三角形,即t2=t2+4t+16,解得t1=2﹣2(舍去),t2=2+2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2+2,5+);
當(dāng)BD=PD時(shí),△PBD為等腰三角形,即t2+16=t2+4t+16,解得t1=0(舍去),t2=,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,);
綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2+2,5+)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,俄羅斯方塊游戲中,圖形經(jīng)過(guò)平移使其填補(bǔ)空位,則正確的平移方式是( )
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A.先向右平移5格,再向下平移3格
B.先向右平移4格,再向下平移5格
C.先向右平移4格,再向下平移4格
D.先向右平移3格,再向下平移5格
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖,為三角形內(nèi)一點(diǎn),的坐標(biāo)為
(1)平移三角形,使點(diǎn)與原點(diǎn)重合,請(qǐng)畫出平移后的三角形
(2)直接寫出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);并寫出平移的規(guī)律.
( , );
( , );
( , );
(3)求三角形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】春平中學(xué)要為學(xué)?萍蓟顒(dòng)小組提供實(shí)驗(yàn)器材,計(jì)劃購(gòu)買A型、B型兩種型號(hào)的放大鏡.若購(gòu)買8個(gè)A型放大鏡和5個(gè)B型放大鏡需用220元;若購(gòu)買4個(gè)A型放大鏡和6個(gè)B型放大鏡需用152元.
(1)求每個(gè)A型放大鏡和每個(gè)B型放大鏡各多少元;
(2)春平中學(xué)決定購(gòu)買A型放大鏡和B型放大鏡共75個(gè),總費(fèi)用不超過(guò)1180元,那么最多可以購(gòu)買多少個(gè)A型放大鏡?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC,AC于D,E兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交AC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:EF=CF;
(2)若cos∠ABC=,AB=10,求線段AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車共游客租賃使用,假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次,且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下:當(dāng)x不超過(guò)100元時(shí),觀光車能全部租出;當(dāng)x超過(guò)100元時(shí),每輛車的日租金每增加5元,租出去的觀光車就會(huì)減少1輛.已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1100元.
(1)優(yōu)惠活動(dòng)期間,為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正,則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元?(注:凈收入=租車收入﹣管理費(fèi))
(2)當(dāng)每輛車的日租金為多少元時(shí),每天的凈收入最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明從家到學(xué)校上學(xué),沿途需經(jīng)過(guò)三個(gè)路口,每個(gè)路口都設(shè)有紅、綠兩種顏色的信號(hào)燈,在信號(hào)燈正常情況下:
(1)請(qǐng)用樹狀圖列舉小明遇到交通信號(hào)燈的所有情況;
(2)小明遇到兩次綠色信號(hào)的概率有多大?
(3)小明紅綠色兩種信號(hào)都遇到的概率有多大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有這樣一個(gè)問(wèn)題:探究函數(shù)y=-+|x|的圖象與性質(zhì).
小軍根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y=-+|x|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.
下面是小軍的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)函數(shù)y=-+|x|的自變量x的取值范圍是 ;
(2)表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.
x | -2 | -1.9 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | 2 | 1.60 | 0.80 | 0 | -0.72 | -1.41 | -0.37 | 0 | 0.76 | 1.55 | … |
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)觀察圖象,函數(shù)的最小值是 ;
(4)進(jìn)一步探究,結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)(函數(shù)最小值除外): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若不等式3x<6的解都能使關(guān)于x的一次不等式(m-1)x<m+5成立,且使關(guān)于x的分式方程= 有整數(shù)解,那么符合條件的所有整數(shù)m的值之和是______.
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