Question

如圖，已知AE與BD相交于點(diǎn)C，AB=AC，DE=DC，M、N、P分別是BC、CE、AD的中點(diǎn)．求證：
（1）AD=2PM；
（2）PM=PN．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)可證△AMD是RT△，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊長一半即可解題；
（2）找到AC中點(diǎn)H，連接HP，HM，找到CD中點(diǎn)G，連接GP，GN，可證△PHM≌△NGP，即可解題．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，
∵P是RT△AMD斜邊上中點(diǎn)，
∴AD=2PM；
（2）找到AC中點(diǎn)H，連接HP，HM，找到CD中點(diǎn)G，連接GP，GN，

則MH是AB邊中位線，HP是CD邊中位線，PG是AC邊上中位線，GN是DE邊上中位線，
∴MH=

1

2

AB，HP=

1

2

CD，PG=

1

2

AC，GN=

1

2

DE，
 MH∥AB，HP∥CD，PG∥AC，GN∥DE，
∵AB=AC，DC=DE，
∴HM=PG，HP=NG，
∴∠CHM=∠BAC，∠PHC=∠DCE，∠NGC=∠CDE，∠PGC=∠ACB，
∵AB=AC，DC=DE，∠ACB=∠DCE，
∴∠BAC=∠CDE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠PHM=∠NGP，
在△PHM和△NGP中，

HM=PG ∠PHM=∠NGP HP=NG

，
∴△PHM≌△NGP（SAS），
∴PM=PN．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中構(gòu)建△PHM和△NGP并證明其全等是解題的關(guān)鍵．