Question

如圖所示是兩個同心圓被其兩條半徑所截得到的圖形，已知

AB

的長為l，

A′B′

的長為l′，AA′=d，求證：
（1）∠O=

l-l′

d

×

180

π

度；
（2）S_ABB′A′=

1

2

（l+l′）d．

Answer 1

考點：扇形面積的計算,弧長的計算

專題：

分析：（1）設∠O=n°，則

AB

的長和

A′B′

的長即可求得，然后根據OA-OA'=d，即可求解；
（2）根據S_ABB′A′=S_扇形OAB-S_扇形OA'B'即可證得．

解答：證明：（1）設∠O=n°，則

AB

的長為l=

nπ•OA

180

，

A′B′

的長為l′=

nπ•OA′

180

，
則OA=

180l

nπ

，OA'=

180l′

nπ

，
∵OA-OA'=d，
則

180l

nπ

-

180l′

nπ

=d，
則n=

l-l′

d

×

180

π

．
故∠O=

l-l′

d

×

180

π

度；
（2）∵S_扇形OAB=

1

2

l•OA，S_扇形OA'B'=

1

2

l'•OA'，
∴S_ABB′A′=S_扇形OAB-S_扇形OA'B'=

1

2

l•OA-

1

2

l'OA'=

1

2

l•（OA'+d）-

1

2

l'•OA'=

1

2

（l+l′）d．

點評：本題考查了弧長公式以及扇形的面積公式，理解公式是關鍵．