Question

如圖已知△ABC為等邊三角形，P是AC延長線上一點，PA為邊作等邊三角形APE，EC的延長線交BP于點M，連接AM．求證：
（1）BP=CE；
（2）∠AME=60°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，證出△EAC≌△PAB即可；
（2）求出∠PME=∠EAC=60°，推出A、M、P、E四點共圓，根推出∠AME=∠EPA=60°即可．

解答：證明：（1）∵△ABC，△APE是等邊三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC與△PAB中，

AE=AP ∠EAC=∠PAB AC=AB

，
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP=CE；

（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEC=∠APB，
∵∠ECA=∠PCM，∠AEC+∠EAC+∠ECA=180°，∠APB+∠PCM+∠PMC=180°，
∴∠PME=∠EAC=60°，
∴A、M、P、E四點共圓，
∴∠AME=∠EPA=60°．

點評：本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．