Question

在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰Rt△ADE．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
解答下列問題：
①如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），線段CE、BD之間的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______．
②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖2，線段CE、BD之間的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______．
請在上面①②兩個結(jié)論中任選一個說明理由．
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．
試探究：當(dāng)△ABC滿足∠BCA=______時，CE⊥BC（點C、E重合除外）？請在圖3中畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

Answer 1

解：（1）①CE⊥BD； CE=BD．
證明：∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°； CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，
即 CE⊥BD．
故答案為 CE⊥BD； CE=BD．
②CE⊥BD； CE=BD．
理由同①；
（2）如圖所示．
當(dāng)∠ACB=45°時，CE⊥BC．
理由：過點A作AP⊥AC交BC邊于P．
則∠APC=45°，AP=AC．
∵∠DAP=90°-∠DAC，∠EAC=90°-∠CAD，
∴∠DAP=∠EAC．
又∵AD=AE，
∴△APD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠APD=45°．
∴∠ECB=45°+45°=90°，
即 CE⊥BC．
故答案為 45°．
分析：（1）根據(jù)已知條件，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，應(yīng)用全等三角形性質(zhì)求解；
（2）先畫出符合要求的圖形，再結(jié)合圖形運用分析法探究．
點評：此題為開放性探究題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度大．