Question

觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：

2+ 2 3

=2

2

3

，驗(yàn)證：

2+ 2 3

=

8 3

=

22×2 3

=2

2 3

．

3+ 3 8

=3

3 8

，驗(yàn)證：

3+ 3 8

=

27 8

=

32×3 8

=3

3 8

．
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想

4+ 4 15

的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a（a為自然數(shù)，且a≥2）表示的等式，并給出驗(yàn)證；
（3）用a（a為任意自然數(shù)，且a≥2）寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗(yàn)證說理過程．

Answer 1

考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡

專題：規(guī)律型

分析：（1）利用已知，觀察

2+ 2 3

=2

2 3

，

3+ 3 8

=3

3 8

，可得

4+ 4 15

的值；
（2）由（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以總結(jié)出一般規(guī)律；
（3）利用已知可得出三次根式的類似規(guī)律，進(jìn)而驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）∵

2+ 2 3

=2

2 3

，

3+ 3 8

=3

3 8

，
∴

4+ 4 15

=4

4 15

=4

2

15

=

8 15

15

，
驗(yàn)證：

4+ 4 15

=

64 15

=

8 15

15

，正確；

（2）由（1）中的規(guī)律可知3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1，
∴

a+ a a2-1

=a

a a2-1

，
驗(yàn)證：

a+ a a2-1

=

a3 a2-1

=a

a a2-1

；正確；

（3）

3	a+ a a3-1

=a

3	a a3-1

（a為任意自然數(shù)，且a≥2），
驗(yàn)證：

3	a+ a a3-1

=

3	a4-a+a a3-1

=

3	a4 a3-1

=a

3	a a3-1

．

點(diǎn)評：此題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，善于發(fā)現(xiàn)題目數(shù)字之間的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．