Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A（-1，0），且tan∠ABC=

1

2

，作垂直于x軸的直線x=m，與拋物線交于點(diǎn)F，與線段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；
（2）若△CEF為等腰三角形，求m的值；
（3）點(diǎn)P為y軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC交直線BC于點(diǎn)M，連接PB，若∠BPM=∠ABC，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，把它們的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用方程求得系數(shù)a、b的值；把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線方程，利用待定系數(shù)法求得直線BC的方程；
（2）此題需要分類(lèi)討論：分別以點(diǎn)C、E、F為頂點(diǎn)的等腰三角形．由等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求m的值；
（3）根據(jù)題意易證：△PHM∽△MRB，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和銳角三角函數(shù)的定義推知PH、HM、PQ間的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由題意得：C（0，-2）．
∵tan∠ABC=

CO

BO

=

2

BO

=

1

2

，
∴OB=4，
∴B（4，0）．將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，得

a-b-2=0 16a+4b-2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 3 2

．
則拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+n（k≠0）．
把B（4，0），C（0，-2）代入得：

4k+n=0 n=-2

，
解得

k= 1 2 n=-2

，
故直線BC為：y=

1

2

x-2；

（2）∵由（1）知，拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．直線BC為：y=

1

2

x-2．
∴E（m，

1

2

m-2），F(xiàn)（m，

1

2

m²-

3

2

m-2），（0＜m＜4）．
則CE²=m²+（

1

2

m）²=

5

4

m²，CF²=m²+（

1

2

m²-

3

2

m）²=

1

4

m⁴-

3

2

m³+

13

4

m²，EF²=（

1

2

m²-2m）²=

1

4

m⁴-2m³+4m²．
①若以C為頂點(diǎn)，則CE²=CF²，即

5

4

m²═

1

4

m⁴-

3

2

m³+

13

4

m²，
解得 m₁=2，m₂=4（不合題意，舍去）；
②若以點(diǎn)E為頂點(diǎn)時(shí)，CE²=EF²，即

5

4

m²=

1

4

m⁴-2m³+4m²．
解得  m₃=4-

5

，m₄=4+

5

（不合題意，舍去）；
③若以點(diǎn)F為頂點(diǎn)時(shí)，CF²=EF²，即

1

4

m⁴-

3

2

m³+

13

4

m²=

1

4

m⁴-2m³+4m²．
解得 m₅=

3

2

．
綜上所述，符合條件的m值為：2或4-

5

或

3

2

；

（3）如圖：過(guò)點(diǎn)M作與x軸平行的直線，分別作P點(diǎn)、B點(diǎn)與該直線的垂線交于點(diǎn)H、R，連接PH、BR、HR
易證△PHM∽△MRB，
∴

PH

MR

=

HM

BR

=

PM

MB

．
又∵x軸∥HR，
∴∠ABC=∠BMR，
∴tan∠BMR=tan∠ABC=

BR

MR

=

1

2

．
令BR=a，MR=2a．
又∵∠BPM=∠ABC，
∴tan∠BPM=tan∠ABC=

BM

PM

=

1

2

，
∴

PH

MR

=

HM

BR

=

1

2

，
∴HP=4a，HM=2a，PQ=3a，
∴HR=4a，
∴P（4-4a，3a）．
又∵點(diǎn)P在拋物線上，把P（4-4a，3a）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得

1

2

（4-4a）²-

3

2

（4-4a）-2=3a，
整理，得8a²-13a=0，
解得 a₁=0（舍去），a₂=

13

8

．
∴P（-

5

2

，

39

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要分類(lèi)討論．