Question

如圖：BE、CF是銳角△ABC的兩條高，M、N分別是BC、EF的中點(diǎn)，若EF=6，BC=24．
（1）判斷EF與MN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求MN的長．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接EM、FM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM=FM=

1

2

BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的解答；
（2）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）EF與MN垂直平分．
證明如下：如圖，連接EM、FM，
∵BE、CF是銳角△ABC的兩條高，M是BC的中點(diǎn)，
∴EM=FM=

1

2

BC，
∵N是EF的中點(diǎn)，
∴EF與MN垂直平分；

（2）∵EF=6，BC=24，
∴EM=

1

2

BC=

1

2

×24=12，
EN=

1

2

EF=

1

2

×6=3，
由勾股定理得，
MN=

EM2-EN2

=

122-32

=3

15

．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造成等腰三角形是解題的關(guān)鍵．