【題目】數(shù)學活動課上,某學習小組對有一內角為120°的平行四邊形ABCDBAD=120°)進行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉,且60°角的頂點始終與點C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點E,F(不包括線段的端點).

(1)初步嘗試

如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACFAE+AF=AC;

(2)類比發(fā)現(xiàn)

如圖2,若AD=2AB,過點CCHAD于點H,求證:AE=2FH;

(3)深入探究

如圖3,若AD=3AB,探究得:的值為常數(shù)t,則t=____.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】

1先證明△ABC,△ACD都是等邊三角形,再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題.根據(jù)的結論得到BE=AF,由此即可證明.(2)設DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,由△ACE∽△HCF,得

由此即可證明;(3)如圖3中,作CN⊥ADNCM⊥BAM,CMAD交于點H.先證明△CFN∽△CEM,得,由ABCM=ADCN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以,設CN=a,FN=b,則CM=3a,EM=3b,想辦法求出AC,AE+3AF即可解決問題.

解:(1①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD=120°

∴∠D=∠B=60°, ∵AD=AB,

∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,

∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°BC=AC,

∵∠ECF=60°,

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60° ∴∠BCE=∠ACF,

△BCE△ACF中,

∴△BCE≌△ACF

②∵△BCE≌△ACF,

∴BE=AF

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC

2)設DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,

∴AD=2AB=4x, ∴AH=ADDH=3x

∵CH⊥AD,

∴AC==2x

∴AC2+CD2=AD2, ∴∠ACD=90°, ∴∠BAC=∠ACD=90°, ∴∠CAD=30°

∴∠ACH=60°,

∵∠ECF=60°,

∴∠HCF=∠ACE, ∴△ACE∽△HCF,=2,

∴AE=2FH

3)如圖3中,作CN⊥ADN,CM⊥BAM,CMAD交于點H

∵∠ECF+∠EAF=180°,

∴∠AEC+∠AFC=180°

∵∠AFC+∠CFN=180°,

∴∠CFN=∠AEC,

∵∠M=∠CNF=90°, ∴△CFN∽△CEM,

, ∵ABCM=ADCN,AD=3AB, ∴CM=3CN,

,設CN=a,FN=b,則CM=3a,EM=3b

∵∠MAH=60°,∠M=90°, ∴∠AHM=∠CHN=30° ∴HC=2a,HM=aHN=a,

∴AM=a,AH=a, ∴AC=a,

AE+3AF=EMAM+3AH+HNFN=EMAM+3AH+3HN3FN=3AH+3HNAM=a

=

練習冊系列答案
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A.

B.

C.

D.

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