Question

如圖，已知AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)G為

AC

上一點(diǎn)，GE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與EG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AG．
（1）求證：△PCD是等腰三角形；
（2）若點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周長(zhǎng)和AG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),等腰三角形的判定,垂徑定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，則∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；
（2）連結(jié)OD，BG，在Rt△COF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出OC=2，由于∠FOC=90°-∠F=60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠1=∠2=30°，則∠PCD=90°-∠1=60°，可判斷△PCD為等邊三角形；再由D為AC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可計(jì)算出OD=

1

2

OC=1，CD=

3

OD=

3

，所以△PCD的周長(zhǎng)為3

3

；然后在Rt△ADE中，計(jì)算出DE=

1

2

AD=

3

2

，AE=

3

DE=

3

2

，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠AGB=90°，再證明Rt△AGE∽R(shí)t△ABG，利用相似比可計(jì)算出AG．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA=90°，
∴∠2+∠ADE=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠PCD=∠ADE，
而∠ADE=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；

（2）解：連結(jié)OD，BG，如圖，
在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，
∴OF=2OC，即OB+2=2OC，
而OB=OC，
∴OC=2，
∵∠FOC=90°-∠F=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠PCD=90°-∠1=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴AD=CD，
在Rt△OCD中，OD=

1

2

OC=1，
CD=

3

OD=

3

，
∴△PCD的周長(zhǎng)為3

3

；
在Rt△ADE中，AD=CD=

3

，
∴DE=

1

2

AD=

3

2

，
AE=

3

DE=

3

2

，
∵AB為直徑，
∴∠AGB=90°，
而∠GAE=∠BAG，
∴Rt△AGE∽R(shí)t△ABG，
∴AG：AB=AE：AG，
∴AG²=AE•AB=

3

2

×4=6，
∴AG=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的判定、垂徑定理、圓周角定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．