【題目】RtACBRtAEF中,∠ACB=∠AEF90°,若點(diǎn)PBF的中點(diǎn),連接PCPE

(1) 如圖1,若點(diǎn)E,F分別落在邊AB,AC上,求證:PCPE;

(2) 如圖2,把圖1中的△AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上時(shí),探索PCPE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

(3) 如圖3,把圖2中的△AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F落在邊AB上.其他條件不變,問(wèn)題(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變,請(qǐng)加以證明;如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2PCPE,理由見(jiàn)解析;(3)成立,理由見(jiàn)解析

【解析】

1)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,即可;

2)先判斷△CBP≌△HPF,再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半;

3)先判斷△DAF≌△EAF,再判斷△DAP≌△EAP,然后用比例式即可;

解:(1)證明:如圖:

∵∠ACB∠AEF90°

∴△FCB△BEF都為直角三角形.

點(diǎn)PBF的中點(diǎn),

∴CPBFEPBF,

∴PCPE

2PCPE理由如下:

如圖2,延長(zhǎng)CPEF交于點(diǎn)H,

∵∠ACB∠AEF90°

∴EH//CB

∴∠CBP∠PFH,∠H∠BCP,

點(diǎn)PBF的中點(diǎn),

∴PFPB

∴△CBP≌△HFP(AAS),

∴PCPH

∵∠AEF90°,

Rt△CEH中,EPCH,

∴PCPE

3(2)中的結(jié)論,仍然成立,即PCPE,理由如下:

如圖3,過(guò)點(diǎn)FFD⊥AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)PPM⊥AC于點(diǎn)M,連接PD,

∵∠DAF∠EAF,∠FDA∠FEA90°

△DAF△EAF中,

∴△DAF≌△EAF(AAS)

∴ADAE,

△DAP≌△EAP中,

∴△DAP≌△EAP (SAS),

∴PDPF

∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC

∴FD//BC//PM,

點(diǎn)PBF的中點(diǎn),

∴DMMC,

∵PM⊥AC,

∴PCPD,

又∵PDPE,

PCPE

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A.A60°B.ACD是直角三角形

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2)類比探究 :如圖(2),在OABOCD中,∠AOB=∠COD90°,∠OAB=∠OCD30°,連接AC,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)計(jì)算的值及∠AMB的度數(shù).

3)拓展延伸:在(2)的條件下,將OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M.若OD1,OB,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).

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A.①②B.②④C.①③D.③④

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