Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AB≠CD，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）若使四邊形EFGH是矩形，四邊形ABCD還應(yīng)滿(mǎn)足一個(gè)條件AD⊥BC；
若使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿(mǎn)足一個(gè)條件AD=BC；
請(qǐng)你選擇一個(gè)，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線定理，可證明EFGH的對(duì)邊平行，從而可證明四邊形EFGH是平行四邊形，
（2）①根據(jù)三角形中位線定理和AD⊥BC判斷出∠EFG=90°，從而得出平行四邊形EFGH是矩形；
②根據(jù)三角形中位線定理和AD=BC判斷出鄰邊相等，從而得出平行四邊形EFGH是菱形；

解答 證明（1）：四邊形EFGH是平行四邊形．理由如下：
∵點(diǎn)E、F分別是線段AB、BD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，
同理 HG∥AD，GF∥BC，EH∥BC，
∴EF∥HG，GF∥EH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）①AC⊥BD，
理由：由（1）得EF∥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵FG∥BC，
∴EF⊥FG，
∴∠EFG=90°，
∵四邊形EFGH是平行四邊形．
∴平行四邊形EFGH是矩形；
②AD=BC，
理由：∵點(diǎn)E、F分別是線段AB、BD的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，
同理FG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD=BC，
∴EF=FG，
∵四邊形EFGH是平行四邊形．
∴平行四邊形EFGH是菱形；
故答案為AD⊥BC，AD=BC．

點(diǎn)評(píng) 此題是中點(diǎn)四邊形，主要考查了三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)和判定，中點(diǎn)的定義，解本題的關(guān)鍵是用三角形中位線判斷線平行和線段．