Question

13．如圖，矩形ABCD中，點F在AD上，AF=AB=12，點G是AF的中點，延長CD和BF交于點E，EG的延長線交AB于點P，GH∥AB交BC于點H，已知AP比ED小1．
（1）求BC的長；
（2）判斷以E，C，H三點構(gòu)成的三角形與以P，B，H三點構(gòu)成的三角形是否相似，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=90，∠ABF=∠AFB=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠ABF=∠DFE=∠AFB=45°，求得DE=DF，設(shè)AP=x，則DE=DF=x+1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{AP}=\frac{DG}{AG}$，列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)$\frac{CE}{PB}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，$\frac{CH}{BH}=\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，得到$\frac{CE}{PB}=\frac{CH}{BH}$，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A=90°，AF=AB=12，
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DEF=∠ABF=∠DFE=∠AFB=45°，
∴DE=DF，
∵點G是AF的中點，
∴AG=GF=6，
設(shè)AP=x，則DE=DF=x+1，
∵DE∥AP，
∴△DEG∽△APG，
∴$\frac{DE}{AP}=\frac{DG}{AG}$，
∴$\frac{x+1}{x}=\frac{6+x+1}{6}$，
∴x=2，
∴DF=3，
∴BC=AD=15；

（2）以E，C，H三點構(gòu)成的三角形與以P，B，H三點構(gòu)成的三角形相似，
理由：∵CE=DE+CD=15，CH=9，PB=10，BH=6，
∵$\frac{CE}{PB}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，$\frac{CH}{BH}=\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{CE}{PB}=\frac{CH}{BH}$，
∵∠C=∠ABC=90°，
∴△CEH∽△BPH．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．