Question

如圖，⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE的對(duì)角線AD與BE相交于點(diǎn)M．
（1）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖形，并直接寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）求證：BM²=BE•ME．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓,等腰三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先由正五邊形的性質(zhì)可得五條邊相等，五個(gè)角相等，并且每個(gè)角都是108°，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形可得△ABE與△ADE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理通過計(jì)算可得∠EAM=∠AEM=∠ABE=∠ADE=36°，∠DEM=∠DME=∠AMB=∠BAM=72°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得△AEM、△DME與△ABM是等腰三角形；
（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△AME∽△EAB，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明BM²=BE•ME．

解答：（1）解：圖中所有的等腰三角形有：△ABE，△ADE，△AEM，△DME，△ABM；

（2）證明：∵△AME與△EAB都是等腰三角形，
∴MA=ME，AB=AE．
在△AME與△EAB中，

AM AE = ME AB ∠AME=∠EAB=108°

，
∴△AME∽△EAB，
∴

ME

AB

=

AE

BE

，
∵BM=AB=AE，
∴BM²=BE•ME．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正五邊形和圓，等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．解答本題注意已經(jīng)證明的結(jié)論，可以直接拿來使用．