Question

16．如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為（8，3），定點D的坐標為（12，0），動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，P、Q兩點同時運動，相遇時停止，在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設運動時間為t秒，△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，S關于t的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤h時，函數(shù)的解析式不同）
（1）當t=1時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B；
（2）求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t的值；
（2）在圖形運動的過程中，有三種情形，當1＜t≤2時，當1＜t≤2時，當2＜t≤4時，進行分類討論求出答案．

解答 解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構成等腰直角三角形，
∴AB=AQ，即3=4-t，
∴t=1．
即當t=1秒時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B．
故答案為：1；

（2）①當0≤t≤1時，如答圖1所示．
設PR交BC于點G，
過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC
=8×3-$\frac{1}{2}$（2t+2t+3）×3
=$\frac{39}{2}$-6t；
②當1＜t≤2時，如答圖2所示．
設PR交BC于點G，RQ交BC、AB于點S、T．
過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
QD=t，則AQ=AT=4-t，
∴BT=BS=AB-AQ=3-（4-t）=t-1．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC-S_△BST
=8×3-$\frac{1}{2}$（2t+2t+3）×3-$\frac{1}{2}$（t-1）²
=-$\frac{1}{2}$t²-5t+19；
③當2＜t≤4時，如答圖3所示．
設RQ與AB交于點T，則AT=AQ=4-t．
PQ=12-3t，
∴PR=RQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-3t）．
S=S_△PQR-S_△AQT
=$\frac{1}{2}$PR²-$\frac{1}{2}$AQ²
=$\frac{1}{4}$（12-3t）²-$\frac{1}{2}$（4-t）²
=$\frac{7}{4}$t²-14t+28．
綜上所述，S關于t的函數(shù)關系式為：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{39}{2}-6t（0≤t≤1）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}-5t+19（1＜t≤2）}\\{\frac{7}{4}{t}^{2}-14t+28（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．

點評 此題屬于四邊形綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及動點問題．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．