Question

2．如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2，直線y=x-2經過點C，交y軸于點G．
（1）點C、D的坐標分別是C（（4，2）），D（（1，2））；
（2）求頂點在直線y=x-2上且經過點C、D的拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線頂點沿直線y=x-2平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E，求出當EF=EG時拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據矩形的性質，可得D點坐標；
（2）根據對稱性，可得頂點的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得頂點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（3）根據圖形平移，可得y=$\frac{2}{3}$（x-m）²+m-2，根據EF=EG，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）當y=2時，x-2=2，解得x=4，即C點坐標為（4，2）．
由矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2，得
4-3=1，即D點的坐標為（1，2）．
故答案為：（4，2），（1，2）；
（2）由二次函數對稱性得，頂點橫坐標為$\frac{1+4}{2}$，
令x=$\frac{5}{2}$，則y=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
∴頂點坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴設拋物線解析式為y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
把點（1，2$\sqrt{3}$）代入得，
a=$\frac{2}{3}$．
∴解析式為y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{1}{2}$；
（3）設頂點E在直線上運動的橫坐標為m，則E（m，m-2），（m＞0）
∴可設解析式為y=$\frac{2}{3}$（x-m）²+m-2，
當x=0時，y=$\frac{2}{3}$m²+m-2，即F點坐標為（0，$\frac{2}{3}$m²+m-2）．
當x=0時，y=m-2，即G（0，-2）．
當GE=EF時，FG=2（y_E-y_G），即
$\frac{2}{3}$m²+m-2-2=2[m-2-（-2）]．
解得m=$\frac{3+\sqrt{105}}{4}$，m=$\frac{3-\sqrt{105}}{4}$，
此時所求的解析式為：y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{3+\sqrt{105}}{4}$）²+$\frac{\sqrt{105}-5}{4}$或y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{3-\sqrt{105}}{4}$）²-$\frac{\sqrt{105}+5}{4}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用自變量與函數值的對應關系是求C點坐標的關鍵；利用對稱性得出頂點的橫坐標是解題關鍵；利用EF=EG得出關于m的方程是解題關鍵，注意圖形的平移不改變圖形的形狀．