Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形CFDE是正方形； 
（2）若AC=6，BC=8，求△ABC的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先利用垂直的定義證得四邊形CFDE是矩形，然后利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，從而判定該四邊形是正方形；
（2）根據(jù)切線長定理可得：CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB），由此可求出r的長．

解答：解：（1）證明：∵∠C=90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴四邊形DECF為矩形，
∵∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，
∴DF=DE，
∴四邊形CFDE是正方形；

（2）根據(jù)勾股定理AB=

AC2+BC2

=10；
四邊形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四邊形OECF是正方形；
由切線長定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB）；
即：r=

1

2

（6+8-10）=2．

點(diǎn)評：本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是利用正方形的判定方法證得四邊形CFDE是正方形．