Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，經(jīng)過點B的直線l（l不與直線AB重合）與直線BC的夾角的大小等于∠ABC，分別過點C、A作直線l的垂線，垂足分別為點D、E
（1）寫出線段AE、CD之間的數(shù)量關系，并加以證明；
（2）當△ABC的位置旋轉到圖2或圖3時，設直線CE、AB交于點F，且

CF

EF

=

5

6

，CD=4，請你在圖2和圖3中任選一種情況，求此時BD的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)△GCD∽△GAE后即可證明猜想正確．
（2）分當點F在線段AB上時和點F在線段BA的延長線上時利用△AGH∽△AEB求得線段BD的長即可．

解答：（1）線段AE、CD之間的數(shù)量關系為AE=2CD．
證明：如圖1，延長AC與直線l交于點G．
依題意，可得∠1=∠2．
∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠4．
∴BA=BG．∴CA=CG．
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE．
∴△GCD∽△GAE．
，

CD

AE

=

GC

GA

=

1

2

，
∴AE=2CD．
 
（2）解：當點F在線段AB上時，如圖2，
過點C作CG∥l交AE于點H，交AB于點G．
∴∠2=∠HCB．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠HCB．
∴CH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴CH=AH=BH．
∵CG∥l，
∴△FCH∽△FEB．
∴

CF

EF

=

CH

EB

=

5

6

，設CH=5x，BE=6x，則AB=10x．
∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．
由（2）得，AE=2CD．
∵CD=4，
∴AE=8．
∴x=1．
∴AB=10，BE=6，CH=5．
∵CG∥l，
∴△AGH∽△AEB．
∴

HG

BE

=

AH

AB

=

1

2

，
∴HG=3．
∴CG=CH+HG=8．
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四邊形CDEG為平行四邊形．
∴DE=CG=8．
∴BD=DE-BE=2，
當點F在線段BA的延長線上時，如圖3，
同理可得CH=5，GH=3，BE=6．
∴DE=CG=CH-HG=2．
∴BD=DE+BE=8．
∴BD=2或8．

點評：本題考查了相似形綜合知識的應用，題目中還涉及到了相似三角形的判定與性質及解直角三角形的知識，難度較大，此類題目應重點掌握輔助線的做法．