Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB如圖放置，點A的坐標為（3，4），點P是AB邊上的一點，過點P的反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)與OA邊交于點E，連接OP．
（1）如圖1，若點B的坐標為（5，0），且△OPB的面積為

5

2

，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，過P作PC∥OA，與OB交于點C，若PC=

1

2

OE，并且△OPC的面積為

3

2

，求OE的長．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點P作PD⊥OB于點D，根據(jù)點B的坐標為（5，0），且△OPB的面積為

5

2

求出PD的長，求出直線AB的解析式，故可得出P點坐標，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出OA的長，△OPC的面積為

3

2

求出OC的長，再由PC∥OA可知△BCP∽△BOA，故可得出OC的長，由PC=

1

2

OE即可得出OE的長．

解答：解：（1）過點P作PD⊥OB于點D，
∵點B的坐標為（5，0），
△OPB的面積為

5

2

，
∴

1

2

×5PD=

5

2

，解得PD=1，
設直線AB的解析式為
y=ax+b（a≠0），
∵A（3，4），B（5，0），
∴

3a+b=4 5a+b=0

，解得

a=-2 b=10

，
∴直線AB的解析式為y=-2x+10，
當y=1時，-2x+10=1，解得x=

9

2

，
∴P（

9

2

，1），
∵點P的反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）上，
∴1=

k

9 2

，解得k=

9

2

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

9

2x

；

（2）∵點A的坐標為（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
∵△OPC的面積為

3

2

，
∴

1

2

OC×1=

3

2

，解得OC=3，
∴BC=5-3=2，
∵PC∥OA，
∴△BCP∽△BOA，
∴

PC

OA

=

BC

OB

，即

PC

5

=

2

5

，解得PC=2，
∵PC=

1

2

OE，
∴OE=4．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質等知識，難度適中．