Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+（k-1）x-k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y=x²+（k-1）x-k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時(shí)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可知，此時(shí)∠OQC=90°且點(diǎn)Q為唯一．以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點(diǎn)是考慮直線AB是否與雙曲線交于C點(diǎn)，此時(shí)亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．

解答：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-1，直線解析式為y=x+1．
聯(lián)立兩個(gè)解析式，得：x²-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=x+1=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．

（2）設(shè)P（x，x²-1）．
如答圖2所示，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1）．

∴PF=y_F-y_P=（x+1）-（x²-1）=-x²+x+2．
S_△ABP=S_△PFA+S_△PFB=

1

2

PF（x_F-x_A）+

1

2

PF（x_B-x_F）=

1

2

PF（x_B-x_A）=

3

2

PF
∴S△ABP=

3

2

（-x²+x+2）=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y_P=x²-1=-

3

4

．
∴△ABP面積最大值為

27

8

，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，-

3

4

）．

（3）設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，
則E（-

1

k

，0），F(xiàn)（0，1），OE=

1

k

，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=

( 1 k )2+1

=

1+k2

k

．
令y=x²+（k-1）x-k=0，即（x+k）（x-1）=0，解得：x=-k或x=1．
∴C（-k，0），OC=k．
Ⅰ、假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，
則以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，根據(jù)圓周角定理，此時(shí)∠OQC=90°．

設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=

k

2

．
∴EN=OE-ON=

1

k

-

k

2

．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴

NQ

OF

=

EN

EF

，即：

k 2

1

=

1 k - k 2

1+k2 k

，
解得：k=±

2 5

5

，
∵k＞0，
∴k=

2 5

5

．
∴存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=

2 5

5

．
Ⅱ、若直線AB過點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)只有另一點(diǎn)Q點(diǎn)，故亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，
將C（-k，0）代入y=kx+1中，
可得k=1，k=-1（舍去），
故存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=1．
綜上所述，k=

2 5

5

或1時(shí)，存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、相似等重要知識點(diǎn)，有一定的難度．第（2）問中，注意圖形面積的計(jì)算方法；第（3）問中，解題關(guān)鍵是理解“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義．