Question

求證：對任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)

21n+4

14n+3

都不可約分．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除性

專題：

分析：此題可用反證法證明，先設(shè)21n+4與14n+3的最大公約數(shù)為x，設(shè)21n+4=ax，14n+3=bx，求出只存在最大公約數(shù)1，然后即可證明對任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)

21n+4

14n+3

都不可約分．

解答：證明：設(shè)21n+4與14n+3的最大公約數(shù)為x，
設(shè)21n+4=ax①，14n+3=bx②，（a，b，x均為正整數(shù)），
②×3-①×2得：3bx-2ax=3（14n+3）-2（21n+4），
整理得：（3b-2a）x=1，
∵a，b，x均為正整數(shù)，
∴3b-2a為正整數(shù)，
∴x的值只能為1，
即最大公約數(shù)為1，
∴對任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)

21n+4

14n+3

都不可約分．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)的整除性，此題運(yùn)用反證法證明21n+4和14n+3的最大公約數(shù)為1，即說明了無論自然數(shù)n取何值，分?jǐn)?shù)

21n+4

14n+3

都不可約分，此題考查了同學(xué)們的邏輯思維能力，有一定的難度．