【題目】如圖,⊙O的直徑AB=10,C、D為⊙O上不同于A、B的兩點,OC平分∠ACD,連結(jié)BC,BD.
(1)求證:OC∥BD;
(2)過點C作CE⊥DB,垂足為點E.
①求證:△CBE∽△DCE;②若AC=8,求BD的長;
(3)直接寫出△BCD面積的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②BD=2.8;(3)△BCD面積的最大值為
【解析】
(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等得∠BDC=∠BAC,再由半徑相等和角平分線定義等量代換得∠OCD=∠CDB即可證明;
(2)①根據(jù)(1)的結(jié)論和CE⊥DB可得CE⊥OC,進而得∠ECB=∠CDB,即可證明兩三角形相似;②根據(jù)勾股定理先求BC的長,再證明△ABC和△CBE相似,對應(yīng)邊成比例可求出CE和BE的長,由①中的三角形相似對應(yīng)邊成比例求出DE的長進而求得BD的長;
(3)根據(jù)(2)的過程即可表示△BCD的最大面積;
(1)∵∠BDC和∠BAC是同弧所對的圓周角,
∴∠BDC=∠BAC,
∴OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵OC平分∠ACD,
∴∠OCA=∠OCD,
∴∠OCD=∠CDB,
∴OC∥BD;
(2)①證明:∵OC∥BD,CE⊥DE,
∴CE⊥OC,
∴∠CEB=90°,
∴∠ECB+∠OCB=90°,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠ECB=∠ACO,
∵∠ACO=∠CDB,
∴∠ECB=∠CDB,∠CEB=∠DEC,
即△CBE△DCE;
②由①得,∠ACO=∠ECB,∠ACB=∠BEC=90°,
∴△ABC△CBE,
∴,
∵Rt△ABC中,AB=10,AC=8,根據(jù)勾股定理得,BC=6,
∴,
解得,,
由①得,△CBE△DCE,
∴,
∴,
解得,
∴BD=DE-BE==2.8;
(3)如圖:過點O作OG⊥BD于點G,
由(2)CE⊥BD,OC⊥CE,
可得四邊形COGE是矩形,
∴OC=GE=5,CE=OG,
設(shè)BG=x,則BD=2x,BO=5,
在Rt△BGO中,根據(jù)勾股定理,得,
,
∴,
即,
∴=,
∴,
∴的最大值為為
∴S的最大值為為;
即△BCD面積的最大值為為;
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【題目】一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過點P,且y的值隨x值的增大而增大,則點P的坐標可以為( 。
A. (﹣5,3) B. (1,﹣3) C. (2,2) D. (5,﹣1)
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【題目】小剛根據(jù)以往的學習經(jīng)驗,想通過由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.
以下是小剛的探究過程,請補充完整.
(1)具體運算,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:
特例1:;特例2:;特例3:;
特例4:______(舉一個符合上述運算特征的例子);
(2)觀察、歸納,得出猜想:
如果為正整數(shù),用含的式子表示這個運算規(guī)律:______;
(3)請你證明猜想的正確性.
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【題目】元旦放假期間,小明和小華準備到西安的大雁塔(記為A)、白鹿原(記為B)、興慶公園(記為C)、秦嶺國家植物園(記為D)中的一個景點去游玩,他們各自在這四個景點中任選一個,每個景點被選中的可能性相同.
(1)求小明選擇去白鹿原游玩的概率;
(2)用樹狀圖或列表的方法求小明和小華都選擇去秦嶺國家植物園游玩的概率.
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【題目】在一個不透明的袋子里有1個紅球和n個白球,它們除顏色外其余都相同.
(1)從這個袋子里摸出一個球,記錄其顏色,然后放回,搖均勻后,重復該實驗,經(jīng)過大量實驗后,發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于左右,求n的值;
(2)在(1)的條件下,先從這個袋中摸出一個球,記錄其顏色,放回,搖均勻后,再從袋中摸出一個球,記錄其顏色.請用畫樹狀圖或者列表的方法,求出先后兩次摸出不同顏色的兩個球的概率.
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【題目】已知甲、乙兩地相距90km,A,B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地,A騎摩托車,B騎電動車,圖中DE,OC分別表示A,B離開甲地的路程s(km)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系的圖象,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)請用t分別表示A、B的路程sA、sB;
(2)在A出發(fā)后幾小時,兩人相距15km?
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【題目】對于一個函數(shù),如果它的自變量 x 與函數(shù)值 y 滿足:當1≤x≤1 時,1≤y≤1,則稱這個函數(shù)為“閉 函數(shù)”.例如:y=x,y=x 均是“閉函數(shù)”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“閉函數(shù)”,且拋物線經(jīng)過點 A(1,1)和點 B(1,1),則 a 的取值范圍是______________.
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【題目】已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖),折疊紙面.
(1)若1表示的點與﹣1表示的點重合,則﹣3表示的點與數(shù) 表示的點重合;
(2)若﹣1表示的點與3表示的點重合,回答以下問題:
①原點與數(shù) 表示的點重合;
②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為7,且A、B兩點經(jīng)折疊后重合,則A、B兩點表示的數(shù)是
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=x和的圖象分別為直線l1、l2,過點A1(1,)作x軸的垂線交l1于點A2,過點A2作y軸的垂線交l2于點A3,過點A3作x軸的垂線交l1于點A4,過點A4作y軸的垂線交l2于點A5,……依次進行下去,則點A2019的橫坐標為( 。
A.21008B.﹣21008C.﹣21009D.21006
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