Question

如圖，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分別是AB、CD的中點．
（1）求證：MN垂直CD；
（2）若AB=10，CD=8，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CM=

1

2

AB，DM=

1

2

AB，再利用N是CD的中點，得出△DMN≌△CMN，求出MN垂直CD；
（2）利用CN=4，CM=5，由勾股定理求出NM即可．

解答：解：（1）連接MC、MD，
∵∠ACB=∠ADB=90°，M、N分別是AB、CD的中點，
∴CM=

1

2

AB，DM=

1

2

AB，
∴MC=MD，
∵N是CD的中點，
在△DMN和△CMN中
∵

CM=DM MN=MN DN=CN

，
∴△DMN≌△CMN，
∴∠MNC=∠MND=90°，
∴MN垂直CD；

（2）∵AB=10，
∴DM=CM=5，
∵CD=8，MN垂直CD，N是CD的中點，
∴CN=4，
∴MN=

CM2-CN2

=

52-42

=3．

點評：此題主要考查了勾股定理和直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，利用已知得出MC=MD是解題關鍵．