【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1),圖象與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸與直線BC交于點(diǎn)D,連接AC、AD,點(diǎn)E為直線BC上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F,問(wèn)是否存在點(diǎn)E使△DEF為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)E坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)存在滿足條件的點(diǎn)E,其坐標(biāo)為(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1),理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式y=a(x-2)2-1(a≠0),把C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,可求得a的值,進(jìn)而求得拋物線解析式;
(2)根據(jù)題意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況,當(dāng)∠DFE=90°時(shí),可知DF∥x軸,則可求得E點(diǎn)橫坐標(biāo),代入直線BC解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)∠EDF=90°時(shí),可知:點(diǎn)F在直線AD上,求出直線AD解析式,聯(lián)立直線AD和拋物線解析式可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo),代入直線BC可求得點(diǎn)E的坐標(biāo).
(1)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2﹣1(a≠0),
把C(0,3)代入可得:a(0﹣2)2﹣1=3,解得a=1,
∴拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3;
(2)在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得x2﹣4x+3=0,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
設(shè)直線BC解析式為y=kx+3,把B(3,0)代入得:3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直線BC解析式為y=﹣x+3,
由(1)可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為:直線x=2,此時(shí)y=﹣2+3=1,
∴D(2,1),
∴AD2=2,AC2=10,CD2=8,
∵AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°,
由題意知EF∥y軸,則∠FED=∠OCB≠90°,
∴△DEF為直角三角形,分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況,
①當(dāng)∠DFE=90°時(shí),即DF∥x軸,則D、F的縱坐標(biāo)相同,如圖1,
∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,
∵點(diǎn)F在拋物線上,
∴x2﹣4x+3=1,解得x=2±,即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2±,
∵點(diǎn)E在直線BC上,
∴當(dāng)x=2+時(shí),y=﹣x+3=1﹣,
當(dāng)x=2﹣時(shí),y=﹣x+3=1+,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2+,1﹣)或(2﹣,1+);
②當(dāng)∠EDF=90°時(shí),且∠ADC=90°,如圖2,
∴點(diǎn)F在直線AD上,
∵A(1,0),D(2,1),
∴直線AD解析式為y=x﹣1,
∴直線AD與拋物線的交點(diǎn)即為F點(diǎn),
聯(lián)立直線AD與拋物線解析式得:x2﹣4x+3=x﹣1,解得x=1或x=4,
當(dāng)x=1時(shí),y=﹣x+3=2,
當(dāng)x=4時(shí),y=﹣x+3=﹣1,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)或(4,﹣1),
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)E,其坐標(biāo)為(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1).
圖1 圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠家一種摩托車(chē)如圖所示,它的大燈A射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°.
(1)該車(chē)大燈照亮地面的寬度BC是1.4m,求大燈A與地面距離約是多少?
(2)一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車(chē)動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是0.2s,從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到摩托車(chē)完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離,某人以60km/h的速度駕駛該車(chē),突然遇到危險(xiǎn)情況,立即剎車(chē)直到摩托車(chē)停止,在這個(gè)過(guò)程剎車(chē)距離是m,請(qǐng)判斷(1)中的該車(chē)大燈A的地面高度是否能滿足最小安全距離的要去,若不能該如何調(diào)整A的高度?(參考數(shù)據(jù):sin8°≈,tan8°≈,sin10°≈,tan10°≈)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),且,頂點(diǎn)為.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,若,四邊形的面積為,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出的取值范圍;
(3)探索:線段上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)呀理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)x≤3時(shí),函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象記為G,將圖象G在x軸上方的部分沿x軸翻折,圖象G的其余部分保持不變,得到一個(gè)新圖象M,若直線y=x+b與圖象M有且只有兩個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,且DE=AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點(diǎn)F,若AB=2,∠ABC=600,則AE的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)
(2)如圖,小方在清明假期中到郊外放風(fēng)箏,風(fēng)箏飛到C 處時(shí)的線長(zhǎng)BC為20米,此時(shí)小方正好站在A處,并測(cè)得∠CBD=60°,牽引底端B離地面1.5米,求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度.(,,結(jié)果精確到0.1米)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為,與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:(1):(2);(3)(為任意實(shí)數(shù));(4);5)點(diǎn)是該拋物線上的點(diǎn),且,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知銳角△ABC內(nèi)接于圓O,D為弧AC上一點(diǎn),分別連接AD、BD、CD,且∠ACB=90°﹣∠BAD.
(1)如圖1,求證:AB=AD;
(2)如圖2,在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,連接AE,使AE=AD,過(guò)E作EF垂直BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)C作CG⊥EC交EF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,設(shè)圓O半徑為r,求證:EG=2r;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接DG,若AC=BC,DE=4CD,當(dāng)△ACD的面積為10時(shí),求DG的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上,AC∥BD∥y軸,已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則k的值為_____.
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