【題目】已知銳角△ABC內(nèi)接于圓OD為弧AC上一點(diǎn),分別連接AD、BD、CD,且∠ACB90°﹣BAD

1)如圖1,求證:ABAD;

2)如圖2,在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,連接AE,使AEAD,過EEF垂直BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過CCGECEF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,設(shè)圓O半徑為r,求證:EG2r;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接DG,若ACBC,DE4CD,當(dāng)△ACD的面積為10時(shí),求DG的長(zhǎng)度.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)欲證明ABAD,只要證明∠ABD=∠ADB即可;(2)如圖2中,連接BEACL,連接AO,延長(zhǎng)AOBDJ,交BET,連接CO,延長(zhǎng)COOK,連接BK.想辦法證明△CBK≌△ECGAAS)可得結(jié)論;(3)如圖3中,在圖2的基礎(chǔ)上作AHDEH.假設(shè)CDk,DE4k,則CECBCA5k,利用勾股定理求出AH,再利用三角形的面積公式求出K的值,再求出EGCG即可解決問題.

1)證明:如圖1中,

∵∠∠ADB=∠ACB,∠ACB90°﹣BAD,

∴∠ADB90°﹣BAD,

∵∠ABD180°﹣∠BAD﹣(90°﹣BAD)=90°﹣BAD,

∴∠ABD=∠ADB,

ABAD

2)證明:如圖2中,連接BEACL,連接AO,延長(zhǎng)AOBDJ,交BET,連接CO,延長(zhǎng)COOK,連接BK

AEAD,

∴∠ADE=∠AED

∵∠ADE+ADC180°,∠ADC+ABC180°,

∴∠ADE=∠ABC=∠AED,

ABAD,

,

∴∠ACB=∠ACE,AJBD,

ACAC,

∴△ACB≌△ACEAAS),

CBCE,

ABAE

ACBE,

∴∠ALB=∠AJB90°,

∵∠ATL=∠BTJ,

∴∠TAL=∠TBJ,

ABADAE

∴∠BEDBAD=∠BAJ,

∵∠EDF=∠DBE+DEB

∴∠EDF=∠BAC,

∵∠K=∠BAC

∴∠K=∠EDF,

CGCEEGBF,

∴∠DFE=∠GCG90°,

∵∠DEF+EDF90°,∠DEF+G90°,

∴∠G=∠EDF=∠K,

∵∠CBK=∠GCE90°,

∴△CBK≌△ECGAAS),

EGCK2r

3)解:如圖3中,在圖2的基礎(chǔ)上作AHDEH

DE4CD

∴可以假設(shè)CDk,DE4k,則CECBCA5k,

AEADAHDE,

DHEH2kCHCD+DH3k,

AH,

AD

SACDCDAHk4k10,

k(負(fù)根舍棄),

CD,ACBCEC5ADAB10,

設(shè)CKABJOAOCr,則BJAJ5CJ

RtAOJ中,則有r252+10r2,

解得r

EG2r,

CG

DG

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過M,N兩點(diǎn)作直線MN交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E;

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