Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．連結(jié)AF、BF．
（1）求tan∠ABF的值；
（2）如果CD=15，BE=10，sin∠DAE=

5

13

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，首先求出∠AOF=60°，借助圓周角定理的推論問題即可解決．
（2）如圖，作輔助線，根據(jù)題意，借助字母λ分別表示出EF、GE等的線段長，運用相交弦定理列出關于字母λ的方程，求出λ問題即可解決．

解答：解：（1）如圖，連接OF；
∵DF⊥AO，且AD=OD，OF=OA，
∴OD=

1

2

OF，
∴∠DFO=30°，∠DOF=90°-30°=60°；
∴∠ABF=

1

2

×60°=30°，
∴sin∠ABF=

1

2

．
（2）如圖，延長FD交⊙O于點G；
∵sin∠DAE=

DE

AE

=

5

13

，
∴設DE=5λ，則AE=13λ；
由勾股定理得：
AD²=（13λ）²-（5λ）²=144λ²，
∴AD=12λ，
∴OF=2AD=24λ，
由勾股定理得：
DF²=OF²-OD²=（24λ）²-（12λ）²
∴DF=12

3

λ，
∴GE=12

3

λ+5λ，EF=12

3

λ-5λ；
由相交弦定理得：AE×BE=GE×EF，
∴13λ×10=（12

3

λ+5λ）（12

3

λ-5λ），
解得：λ=

130

407

，
∴⊙O的半徑=24λ=

3120

407

．

點評：該題以圓為載體，以圓周角定理及其推論、直角三角形的邊角關系、勾股定理、相交弦定理等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．