Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)O和M分別為Rt△ABC的外心和內(nèi)心，線(xiàn)段OM的長(zhǎng)為

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，作△ABC的內(nèi)切圓⊙M，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∵點(diǎn)O為△ABC的外心，
∴AO為外接圓半徑，AO=AB=5．
設(shè)⊙M的半徑為r，則MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四邊形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，
∵AB=10，
∴8﹣r+6﹣r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6﹣r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，
∴OM== ．
故答案是： ．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心．