Question

6．探究：如圖①，∠AOB=90°，點P是∠AOB的平分線上一點，以點P為頂點作∠MPN=90°，分別交OA，OB于點M，N．求證：PM=PN．
應(yīng)用：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC，∠ABC的外角平分線交于點P，過點P分別作PE⊥AC，PF⊥BC，分別交CA，CB的延長線于點E，F(xiàn)．若BC=3，AC=4，則AE+BF的長度是5．

Answer 1

分析 探究：過P作PE⊥OA，PF⊥OB，由OC為∠AOB的平分線，利用角平分線定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到△PME與△PNF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
應(yīng)用：如圖②，過點P作PG⊥AB，垂足點G．證明Rt△PEA≌Rt△PEA，Rt△PGB≌Rt△PFB，所以AE=AG，BF=BG，求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，所以AE+BF=5．

解答 解：探究：如圖①，

過P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OC是∠AOB的平分線，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△PME和△PNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFN=90°}\\{∠MPE=∠NPF}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PM=PN．
應(yīng)用：如圖②，過點P作PG⊥AB，垂足點G．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，且∠BAC，∠ABC的外角平分線交于點P，
∴PE=PG，PF=PG，
∵PG=PG，
在Rt△PEA和Rt△PEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PG}\\{PA=PA}\end{array}\right.$
∴Rt△PEA≌Rt△PEA，
在Rt△PGB和Rt△PFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PG=PF}\\{PB=PB}\end{array}\right.$
∴Rt△PGB≌Rt△PFB，
∴AE=AG，BF=BG，
∵∠ACB=90°，且BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴AE+BF=5．
故答案為：5．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．