Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（4，0），B（4，3），C（0，3）．動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿對(duì)角線OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO以每秒$\frac{4}{5}$個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，連接PQ、QB．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
（2）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BAQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（4，0），B（4，3），C（0，3），可求得OA與AB的長(zhǎng)，易證得△OPH∽△OBA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）分別從點(diǎn)H在點(diǎn)Q的左側(cè)與右側(cè)去分析，再由△PHQ∽△BAQ或△PHQ∽△BQA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：OP=t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∵矩形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，AB=3，BA⊥OA，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5，
∵PH⊥OA，
∴PH∥AB，
∴△OPH∽△OBA，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{PH}{AB}=\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{OH}{4}=\frac{PH}{3}=\frac{t}{5}$，
∴OH=$\frac{4}{5}$t，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
故答案為：$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t；

（2）存在．
如圖（1），點(diǎn)H在Q的左邊時(shí)；
∵OH=$\frac{4}{5}$t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∴QH=OA-OH-AQ=4-$\frac{8}{5}$t，
①當(dāng)△PHQ∽△BAQ時(shí)，$\frac{PH}{AB}=\frac{QH}{AQ}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{3}=\frac{4-\frac{8}{5}t}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=5$\sqrt{2}$-5；
②當(dāng)△PHQ∽△BQA時(shí)，$\frac{PH}{AQ}=\frac{QH}{AB}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{4-\frac{8}{5}t}{3}$，
解得：t=$\frac{35}{32}$；
如圖（2），當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)；
∵OH=$\frac{4}{5}$t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∴QH=OH+AQ-OA=$\frac{8}{5}$t-4，
③當(dāng)△PHQ∽△BAQ時(shí)，$\frac{PH}{AB}=\frac{QH}{AQ}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{3}=\frac{\frac{8}{5}t-4}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=5；
④當(dāng)△PHQ∽△BQA時(shí)，$\frac{PH}{AQ}=\frac{QH}{AB}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{\frac{8}{5}t-4}{3}$，
解得：t=$\frac{125}{32}$；
綜上所述：當(dāng)t=5$\sqrt{2}$-5或t=$\frac{35}{32}$或t=5或t=$\frac{125}{32}$時(shí)，以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BAQ相似．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系．注意結(jié)合題意畫出圖形，利用圖形求解是關(guān)鍵，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．