Question

14．已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）時(shí)，∠AOE-∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）時(shí)，滿足∠AOD+∠EOF=6∠COD，則n=30或50°或90°．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠EOB和∠COF的度數(shù)，然后根據(jù)∠EOF=∠EOB+∠COF求解；
（2）解法與（1）相同，只是∠AOC=∠AOB+n°，∠BOD=∠COD+n°；
（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度數(shù)，根據(jù)∠AOD+∠EOF=6∠COD列方程求解．

解答 解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴∠EOF=∠EOB+∠COF=50°+20°=70°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，理由是：
當(dāng)0＜n＜80時(shí)，如圖2．∠AOE-∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC=∠AOB+n°，∠BOD=∠COD+n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（100°+n°），∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$（40°+n°），
∴∠AOE-∠BOF=$\frac{1}{2}$（100°+n°）-$\frac{1}{2}$（40°+n°）=30°；
當(dāng)80＜n＜90時(shí)，如圖3．
∠AOE=$\frac{1}{2}$（360°-100°-α）=130°-$\frac{1}{2}$α，
∠BOF=$\frac{1}{2}$（40°+α），
則∠AOE-∠BOF=110°-α，不是定值；
（3）當(dāng)0＜＜α＜40時(shí)，C和D在OA的右側(cè)，
∠AOD=∠AOB+∠COD+n°=100°+40°+n°=140°+n°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=∠EOC+∠COD-∠DOF=$\frac{1}{2}$（100°+n°）+40°-$\frac{1}{2}$（40°+n°）=70°，
∵∠AOD+∠EOF=6∠COD，
∴（140+n）+70°=6×40，
∴n=30．
當(dāng)40≤α＜80時(shí)，如圖2所示，D在OA的左側(cè)，C在OA的右側(cè)．
當(dāng)∠AOD=∠AOB+∠COD+n°＞180°時(shí)，∠AOD=360°-∠AOB-∠COD=220°-n°，∠EOF=70°，
∵∠AOD+∠EOF=6∠COD，
∴220°-n°+70°=6×40°，
解得n=50．
當(dāng)80＜α＜140時(shí)，如圖3所示，
∠AOD=360°-100°-40°-α=220°-n°，∠EOF=360°-（130°-$\frac{1}{2}$n）-$\frac{1}{2}$（40°+n）-100°=110°，
則（220-n）+110°=240°，
解得n=90°；
當(dāng)140≤n＜180時(shí)，
∠AOD=220°-n°，∠EOF=70°，
則220-n+70=240，解得n=50（舍去）．
故答案是：30或50°或90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．