【題目】已知:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C都在坐標(biāo)軸上,且OA=OB=OC,△ABC的面積為9,點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以1個(gè)單位/秒的速度向下運(yùn)動(dòng),連接PA,PB,D(﹣m,﹣m)為AC上的點(diǎn)(m>0)
(1)試分別求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,問(wèn):當(dāng)t為何值時(shí),DP與DB垂直且相等?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,若PA=AB,在第四象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q,連QA,QB,QP,且∠PQA=60°,當(dāng)Q在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),求∠APQ與∠PBQ的度數(shù)和.
【答案】(1)A(﹣3,0),B(3,0),C(0,﹣3);(2)當(dāng)t=3秒時(shí), DP與DB垂直且相等,理由見(jiàn)解析;(3)∠APQ+∠PBQ=120°.
【解析】
(1)利用OA=OB=OC,∠AOC=∠BOC=90° 得出∠ACB=90°,再利用△ABC的面積為9,得出OA=OC=OB=3 即可得出各點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)作DM⊥x軸于點(diǎn)M,作DN⊥y軸于點(diǎn)N,假設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出△PCD≌△BOD,進(jìn)而得到∠BDP=∠ODC=90°,即DP⊥DB;
(3)在QA上截取QS=QP,連接PS,利用∠PQA=60°,得出△QSP是等邊三角形,進(jìn)而得出△APS≌△BPQ,從而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案.
(1)A(﹣3,0),B(3,0),C(0,﹣3);
(2)當(dāng)t=3秒時(shí), DP與DB垂直且相等.
理由如下:連接OD,作DM⊥x軸于點(diǎn)M,作DN⊥y軸于點(diǎn)N,
∵D(﹣m,﹣m),
∴DM=DN=OM=ON=m,
∴∠DOM=∠DON=45°,而∠ACO=45°,
∴DC=DO,∠ODC=90°
∵∠ODB+∠BDC=∠CDP+∠BDC=90°
∴∠ODB =∠CDP
又 ∵DP=DB
∴ △PCD≌△BOD (SAS)
∴DP=DB,∠PDC=∠BDO,
∴∠BDP=∠ODC=90°,
即DP⊥DB.
∴ PC=BO
∴ t=3 ;
(3)在QA上截取QS=QP,連接PS.
∵∠PQA=60°,
∴△QSP是等邊三角形,
∴PS=PQ,∠SPQ=60°,
∵PO是AB的垂直平分線,
∴PA=PB 而PA=AB,
∴△PAB是等邊三角形,
∴∠APB=60°,
∴∠APS=∠BPQ,
∴△APS≌△BPQ,
∴∠PAS=∠PBQ,
∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,點(diǎn)P在邊AB上.
(1)判斷四邊形ABCD的形狀并加以證明;
(2)若AB=AD,以過(guò)點(diǎn)P的直線為軸,將四邊形ABCD折疊,使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B′、C′上,且B′C′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,折痕與四邊形的另一交點(diǎn)為Q.
①在圖2中作出四邊形PB′C′Q(保留作圖痕跡,不必說(shuō)明作法和理由);
②如果∠C=60°,那么 為何值時(shí),B′P⊥AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,∠B=60°,若AD=3,則梯形ABCD的周長(zhǎng)為( )
A.12
B.15
C.12
D.15
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A,B分別向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,BD,CD.
(1)求點(diǎn)C,D的坐標(biāo)及平行四邊形ABDC的面積.
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,連接PA,PB,使=2,若存在這樣一點(diǎn),求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,試說(shuō)明理由.
(3)點(diǎn)P是四邊形ABCD邊上的點(diǎn),若△OPC為等腰三角形時(shí),直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片,A種紙片邊長(zhǎng)為a的正方形,B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形,C種紙片長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形.并用A種紙片一張,B種紙片張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.
(1)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.
方法1: ;方法2:
(2)觀察圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系.
(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(2018﹣a)2+(a﹣2017)2=5,求(2018﹣a)(a﹣2017)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,BC=AC,D為AB的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),將△BDE沿DE翻折,得到△FDE,EF交AC于點(diǎn)G,則△ECG的周長(zhǎng)是___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上.
(1)求證:BE=CE;
(2)如圖2,若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,且BF⊥AC,垂足為F,∠BAC=45°,原題設(shè)其它條件不變.求證:△AEF≌△BCF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一個(gè)直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,折疊該紙片,折痕與邊OB交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.
(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′,是否存在點(diǎn)B′,使得四邊形BCB′D是菱形?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由并求出菱形的邊長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若實(shí)數(shù)m、n滿足等式,且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng),則△ABC的周長(zhǎng)是_______.
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