【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3,動(dòng)點(diǎn)F在邊BC上,且不與點(diǎn)B、C重合,將△EBF沿EF折疊,得到△EB′F.
(1)當(dāng)∠BEF=45°時(shí),求證:CF=AE;
(2)當(dāng)B′D=B′C時(shí),求BF的長(zhǎng);
(3)求△CB′F周長(zhǎng)的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)△CB′F周長(zhǎng)的最小值為.
【解析】(1)利用正方形的性質(zhì)即可證得結(jié)論;(2)運(yùn)用翻折的性質(zhì)在Rt△B′MF中運(yùn)用勾股定理BF的長(zhǎng);(3)根據(jù)折疊的對(duì)稱性求出△CB′F周長(zhǎng)的最小值.
(1)證明:
∵ABCD是正方形,
∴∠B=90°,AB=BC,
∵∠BEF=45°,
∴∠BFE=∠BEF=45°,
∴BE=BF,
∴AE=CF.
(2)如圖1,過(guò)B′點(diǎn)作GH∥AD,分別交AB、CD于點(diǎn)G、H,則∠B′GE=90°.
∵B′C=B′D,
∴DH=AG=DC=8,
∵AE=3,AB=16,
∴BE=13,
由翻折的性質(zhì)可得:B′E=BE=13.
∴ EG=AG﹣AE=8﹣3=5,
∴ B′G=,
過(guò)B′點(diǎn)作B′M∥BC交BC于點(diǎn)M,
則B′M=BG=8.BM=B′G=12,
設(shè)BF= ,則B′F=BF= ,F(xiàn)M=12﹣,
在Rt△B′MF中,∠B′MF=90°,
∴ B′F2= FM2+ B′M2,
即,
解得: ,即BF =.
(3)如圖2.
∵FB′+ FC=BC=16,
∴當(dāng)CB′最小時(shí),△CB′F的周長(zhǎng)也最小,
而當(dāng)C、B′、E三點(diǎn)共線時(shí),CB′取最小值,
此時(shí)CB′=CE-EB′=,
∴△CB′F周長(zhǎng)的最小值為.
或∵FB′+ FC=BC=16,
∴當(dāng)CB′最小時(shí),△CB′F的周長(zhǎng)也最小,
當(dāng)∠CB′F=90°時(shí),CB′最小,
而這時(shí)C、B′、E三點(diǎn)共線,
此時(shí)CB′=CE-EB′=,
∴△CB′F周長(zhǎng)的最小值為.
“點(diǎn)睛”本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、折疊的對(duì)稱性,靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】In right Fig.,if the length of the segment AB is 1,M is the midpoint of the segment AB,and point C divides the segment MB into two parts such that MC:CB=1:2,then the length of AC is 。
(英漢詞典:length 長(zhǎng)度;segment 線段;midpoint 中點(diǎn);divides…into 分為,分成)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三內(nèi)角之比為1:2:3
B.三邊長(zhǎng)分別為5,12,14
C.三邊長(zhǎng)之比為3:4:5
D.三邊長(zhǎng)分別為1, ,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】x>﹣y,則下列不等式中成立的有( )
A. x+y<0 B. x﹣y>0 C. a2x>﹣a2y D. 3x+3y>0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ACB的角平分線分別交AB,BD于M,N兩點(diǎn).若AM=2,則線段ON的長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.1
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商品的售價(jià)是528元,商家出售一件這樣的商品可獲利潤(rùn)是進(jìn)價(jià)的10%~20%,設(shè)進(jìn)價(jià)為x元,則x的取值范圍是 ▲ 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE相交于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形OCED是菱形.
(2)連接OE,若AD=4,CD=3,求菱形OCED的周長(zhǎng)和面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合),過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交直線AB于點(diǎn)E,DF∥AB交直線AC于點(diǎn)F.
(1)求證:AF=DE;
(2)若AC=5,DE=6,則DF= .
(3)試探究:D在不同位置時(shí),DE,DF,AC具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出結(jié)論:
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),關(guān)系是:;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí),關(guān)系是:;
③當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí),關(guān)系是:;
(4)請(qǐng)選擇(3)中你探究獲得的其中一個(gè)結(jié)論證明之.
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