Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+n與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）過C、B兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)A，連接AC，且tan∠CAO=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是射線CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交拋物線于Q，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，線段PQ的長(zhǎng)為d，求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)PH=e，已知d，e是以y為未知數(shù)的一元二次方程：y²一（m+3）y+（5m²-2m+13）=0（m為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)M在拋物線上，連接MQ、MH、PM，且MP平分∠QMH，求出t值及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)代入拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐標(biāo)，就可以得出直線的解析式，就可以求出B的坐標(biāo)，在直角三角形AOC中，由三角形函數(shù)值就可以求出OA的值，得出A的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出其解就可以得出結(jié)論；
（2）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，和如圖3點(diǎn)P在射線BN上時(shí)，就有P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+3），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t²+2t+3），就可以得出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式而得出結(jié)論；
（3）根據(jù)根的判別式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延長(zhǎng)MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，如圖2，延長(zhǎng)MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，就可以得出四邊形LQMH是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形LQMH是菱形，由菱形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x=0，則y=-x+n=0+n=n，y=ax²+bx+3=3，
∴OC=3=n．
當(dāng)y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B（3，0）．
在△AOC中，tan∠CAO=3，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3，
得

9a+3b+3=0 a-b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)．

∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t且PQ垂直于x軸，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+3），
Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t²+2t+3）．
∴PQ=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²⁺3t．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在射線BN上時(shí)．

∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t且PQ垂直于x軸，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+3），
Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t²+2t+3）．
∴PQ=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．
∵BO=3，
∴d=

-t2+3t  (0＜t＜3) t2-3t  (t＞3)

答：當(dāng)0＜t＜3時(shí)，d與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：d=-t²+3t，當(dāng)t＞3時(shí)，d與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：d=t²-3t；

（3）∵d，e是y²-（m+3）y+

1

4

（5m²-2m+13）=0（m為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，即△=（m+3）²-4×

1

4

（5m²-2m+13）≥0
整理得：△=-4（m-1）²≥0．
∵-4（m-1）²≤0，
∴△=0，
∴-4（m-1）²=0
∴m=1，
∴y²-4y+4=0．
∵PQ與PH是y²-4y+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解得：y₁=y₂=2
∴PQ=PH=2，
∴-t+3=2，
∴t=1，
∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4）．
∴此時(shí)Q是拋物線的頂點(diǎn)，
延長(zhǎng)MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，如圖2，

∵LP=MP，PQ=PH，
∴四邊形LQMH是平行四邊形，
∴LH∥QM，
∴∠1=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴LH=MH，
∴平行四邊形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，都是2，
∴在y=-x²+2x+3中，當(dāng)y=2時(shí)，
∴x²-2x-1=0，
∴x₁=1+

2

，x₂=1-

2

．
綜上所述：t值為1，M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

2

，2）或（1-

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，根的判別式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．