Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，DE⊥BC，交BC的延長線于點E，BD交AC于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=4，ED=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連接OD，可證出OD∥BE，從而得出∠ODE=90°，即得出答案；
（2）設(shè)OD交AC于點M，可得出四邊形DMCE為矩形，設(shè)⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理得出x，即為圓的半徑．

解答：解：（1）連接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，則∠EBD=∠ODB，
∴OD∥BE，
∴∠ODE=∠DEB=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）設(shè)OD交AC于點M，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵∠DEB=90°，∠ODE=90°，
∴四邊形DMCE是矩形，
∴DM=EC=4，
AM=MC=DE=8，
設(shè)⊙O的半徑為x，得x²=8²+（x-4）²，
解得：x=10，
⊙O的半徑為10．．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理以及圓周角定理，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．