Question

在一堂數(shù)學(xué)課上，王老師要求同學(xué)們在一張長12cm、寬5cm的矩形紙片內(nèi)折出一個菱形．小天同學(xué)很快想了一個辦法．他按照取兩組對邊中點的方法折出四邊形EFGH（見圖1），并證明了它是一個菱形．小海同學(xué)也不甘示弱，他沿矩形的對角線AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB，得到四邊形AECF（見圖2）．可是小天同學(xué)不服氣，要求小海說明理由，還要比比誰折出的四邊形的面積大？聰明的你請幫助他們解決這兩個問題：
（1）證明圖2中的四邊形AECF為菱形；
（2）通過計算比較兩個菱形哪個面積大？

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）要證所折圖形是菱形，只需證四邊相等即可．
（2）按照圖形用面積公式計算S=30和S=

845

24

，可知小海同學(xué)所折的菱形面積較大．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，則∠DAC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB，
∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四邊形AECF是菱形．

（2）小天：S_菱形=S_矩形-4S_△AEH=12×5-4×

1

2

×6×

5

2

=30（cm）²，
小海：設(shè)BE=x，則CE=12-x，
在Rt△ABE中，
AE=

BE2+AB2

=

x2+25

由四邊形AECF是菱形，則AE²=CE²
故x²+25=（12-x）²，
∴x=

119

24

，
S_菱形=S_矩形-2S_△ABE=12×5-2×

1

2

×5×

119

24

=

845

24

（cm）²，
比較可知，圖2同學(xué)所折的菱形面積較大．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的判定以及圖形面積的計算與比較，利用圖形的性質(zhì)分別得出其面積是解題關(guān)鍵．