Question

【題目】已知：如圖，在中，，，，是斜邊的中點，以為頂點，作，的兩邊交邊于點、（點不與點重合）

（1）當時，求的長度；

（2）當繞點轉動時，設，，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍.

（3）聯結，是否存在點，使△與△相似？若存在，請求出此時的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）或

【解析】

（1）分∠DFE=90°和∠DEF=90°兩種情況，根據直角三角形的性質和相似三角形的性質解答；

（2）連接CD，證明△CDE∽△AFD，根據相似三角形的對應邊成比例計算即可；

（3）分△BFD∽△AED和△BFD∽△DAE兩種情況討論，根據相似三角形的判定和性質解答．

（1）∵，，，

∴BC=3.

∵，

∴∠ADF=∠ACB=90°，

∵∠A=∠A,

∴△ADF∽△ACB，

∴AD:AC=AF:AB，

∴AF=，

則CF=，

∴CF的長為；

(2)連接CD,

∵D是斜邊AB上的中點，

∴AD=DB=CD=2.5，

∴∠DCA=∠DAC，

又∵∠FDE=∠A，

∴∠CDE=∠AFD，

又∵∠DCA=∠DAC，

∴△CDE∽△AFD，

∴CD:AF=CE:AD,即2.5:(4-x)=y:2.5，

∴；

(3)如圖，

①當△BFD∽△ADE，

則∠FBD=∠A,

∴FB=FA，

則BF2=CF2+BC2，

∴(4-CF)2=CF2+9

解得CF=；

②當△BFD∽△DAE，

則∠BFD=∠A，

∴△BFD∽△BAF，

BF:AB=BD:BF，

∴BF2=，

∴CF==.

∴當CF=或時，△與△相似.