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【題目】ABC和△CDE是以C為公共頂點的兩個三角形.

(1)如圖1,當△ABC和△CDE都是等邊三角形時,連接BD、AE相交于點P.求∠DPE的度數;

(2)如圖2,當△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,且∠ACB=DCE=90°時,連接AD、BE,QAD中點,連接QC并延長交BEK.求證:QKBE;

(3)在(1)的條件下,N是線段AECD的交點,PF是∠DPE的平分線,與DC交于點F,CN=2,PFN=45°,求FN的長.

【答案】(1)60°;(2)見解析;(3)

【解析】試題分析:(1)只要證明BCD≌△ACE,可得BDC=∠AEC,利用“8字型證明DPJ=∠JCE=60°即可;

·(2)如圖2,延長CQR,使得CQ=QR,連接AR、DR.只要證明ACR≌△BCE可得ACR=∠CBE,ACR+∠BCK=90°,推出CBE+∠BCK=90°,,可得CKB=90°,即CKBE

(3)如圖3,NHECH,NGPFG,EH上取一點K使得KN=KE.提供解直角三角形求出CE、DE、NE,再利用相似三角形的性質可得DE2=NE·PE,求出PEPN,由此即可解決問題;

解:(1)如圖1中,設AECDJ.

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形,

CB=CA,CD=CE,BCA=DCE,

BCD=ACE,

∴△BCD≌△ACE,

∴∠BDC=AEC,

∵∠PJD=CJE,

∴∠DPJ=JCE=60°,

∴∠DPE=60°.

(2)如圖2中,延長CQR,使得CQ=QR,連接AR、DR.

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,

∴∠ACB=DCE=90°,AC=BC,CE=CD,

∴∠BCE+∠ACD=180°,

AQ=DQ,CQ=QR,

∴四邊形ACDR是平行四邊形,

AR=CD=CE,ARCD,

∴∠CAR+∠ACD=180°,

∴∠BCE=CAR,CA=CB,AR=CE,

∴△ACR≌△BCE,

∴∠ACR=CBE,

∵∠ACR+∠BCK=90°,

∴∠CBE+∠BCK=90°,

∴∠CKB=90°,即CKBE.

(3)如圖3中,作NHECH,NGPFG,在EH上取一點K使得NK=EK.

∵∠DPE=60°,PF平分∠DPE,

∴∠NPPF=30°,

∵∠PFN=45°,NGF=90°,

GF=GN=PN,FN=GN,

∴∠PNF=CNE=105°,CEN=15°,

KN=KE,

∴∠KNE=KEN=15°,

∴∠NKH=30°,

RtCNH中,∵CN=2,CNH=30°,

CH=CN=,NH=CH=

RtNKH中,NK=KE=2NH=2,HK=NH=3,

EN===6+2,CE=DE=4+2

∵∠DEN=PED,EDN=EPD,

∴△DEN∽△PED,

DE2=NEPE,

∴可得PE=,PN=PE﹣EN=,

FN=××=

練習冊系列答案
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【題目】補全證明過程

已知:如圖,∠1∠2,∠C∠D。

求證:∠A∠F。

證明:∵∠1∠2(已知),

∠1∠DMN___________________),

∴∠2∠_________(等量代換)。

∴DB∥EC(同位角相等,兩直線平行)。

∴∠A∠F(兩直線平行,內錯角相等)。

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時間/

1

2

3

4

5

電話費/

0.36

0.72

1.08

1.44

1.80

1)這個表反映了哪兩個變量之間的關系?哪個是自變量?哪個是因變量?

2)如果用表示超出時間,表示超出部分的電話費,那么的關系式是什么?

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4)某次打電話的費用超出部分是元,那么小明的爸爸打電話超出幾分鐘?

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